Αντίστροφη - Όρια

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Αντίστροφη - Όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Τετ Νοέμ 03, 2010 11:16 am

Έστω η συνάρτηση f : R\rightarrow R με f\left(x \right)=e^{x}+x^{3}-x^{2}+x.
A. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
Β. Να υπολογίσετε το \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f^{-1}(x)}{lnx}.

Θα σας παρακαλέσω οι λύσεις σας να είναι αναλυτικές.(Όπως θα ήταν σε ένα γραπτό πανελληνίων)


Μηδένα προ του τέλους μακάριζε...
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Νοέμ 03, 2010 11:40 am

Επιχειρώ να απαντήσω στο Α:
Είναι f(x)=e^x+x^3-x^2+x\Rightarrow f(x)= e^x+(x^2-x+1)x
Θέτω κ=x^2-x+1, κ>0 για κάθε x\in R
Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=κx
Αφού κ>ο για κάθε x\in R η g γνησίως αύξουσα στο R.
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=e^x. H h γνησίως αύξουσα στο R.
Άρα η f γνησίως αύξουσα στο R (ως άθροισμα γνησίως αυξουσών)
Άρα η f "1-1" και αντιστρέψιμη.
Για το Β οι γνώσεις μου δεν φτάνουν.
!!!Σημείωση: H παραπάνω απόδειξη όπως εξηγεί πιο κάτω ο κύριος Σερίφης περιέχει κάποιο σφάλμα στο συλλογισμό.
Ευχαριστώ, Αντώνης
τελευταία επεξεργασία από Νασιούλας Αντώνης σε Τετ Νοέμ 03, 2010 6:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τετ Νοέμ 03, 2010 11:52 am

Άς κάνω μια προσπάθεια...

Για το α η είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων (και συνεχών ) άρα:

\displaystyle f'\left(x \right)=\left(e^{x}+x^{3}-x^{2}+x \right)'=e^{x}+3x^{2}-2x+1\geq 3x^{2}-x+1>0

αφού \displaystyle 3x^{2}-x+1\geq -\frac{\Delta }{4a}=\frac{11}{12}>0 καθώς και \displaystyle e^{x}\geq x+1,\forall x\in\mathbb{R}

επειδή η \displaystyle g(x)=e^{x}-x-1 εύκολα βλέπουμε από τον πίνακα μονοτονίας πως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο πεδίο ορισμού της στο

\displaystyle x_{0}=0 άρα \displaystyle e^{x}-x-\geq 0.Άρα η f είναι γνησίως μονότονη και άρα 1-1 επομένως

θα ανιστρέφεται.

Για το β ερώτημα επειδή έχω τις επιφυλάξεις μου θα πω πως βρίσκω 1,αν μπορέσει κάποιος να το επιβεβαιώσει ίσως αναρτήσω την λύση μου.


Mulder
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2009 6:43 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mulder » Τετ Νοέμ 03, 2010 12:35 pm

κι εγώ 1 βγάζω,απλά δεν είμαι σίγουρος αν μπορούμε να αντικαταστήσουμε x=f(u),x\to \infty ,f(u)\to \infty ,u\to \infty

και τελικά να βγάλουμε \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f^{-1}(x)}{lnx}=\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{u}{lnf(u)}, το οποίο μετά από αρκετά hospital βγαίνει 1


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τετ Νοέμ 03, 2010 12:51 pm

Αυτό ακριβώς έχω και εγώ στο μυαλό μου....

Αρκεί πρώτα να δειντεί πως όταν \displaystyle x\rightarrow \infty \Rightarrow f^{-1}\left(x \right)\rightarrow \infty για

να μπορέσω να πω πως \displaystyle f\left(x\right)\rightarrow \infty\Rightarrow x\rightarrow \infty.

Kαταρχάς οι f^{-1},f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας καθώς \displaystyle R_{f^{-1}}=D_{f}=\left(-\infty,+\infty \right)

καθώς και \displaystyle D_{f^{-1}}=R άρα επειδή και η f^{-1} είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα ότι

\displaystyle R_{f^{-1}}=\left(\lim_{x\rightarrow -\infty}f^{-1}\left(x \right), \lim_{x\rightarrow +\infty}f^{-1}\left(x \right)\right)=\left(-\infty,+\infty \right).

Άρα \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f^{-1}\left(x \right)=+\infty


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τετ Νοέμ 03, 2010 1:00 pm

Να συμπληρώσω πως οι f,f^{-1} έχουν το ίδιο μονοτονίας.

Έστω η f γνησίως αύξουσα ,και x_{1},x_{2}\epsilon D_{f},x_{1}<x_{2} τότε θα είναι:\displaystyle f\left(f^{-1}\left(x_{1} \right) \right)=x_{1},f\left(f^{-1}\left(x_{2} \right) \right)=x_{2}

άρα: \displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1} \right)<f\left(x_{2} \right)

\displaystyle x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f^{-1}\left(f\left(x_{1} \right) \right)<f^{-1}\left(f\left(f{x_{2}} \right) \right)

άρα και η αντίστροφη είναι γνησίως αύξουσα,όμοια άν η f είναι γνησίως φθίνουσα.
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Τετ Νοέμ 03, 2010 4:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Νοέμ 03, 2010 2:54 pm

χμ, δεν ξέρω κατά πόσο η συγκεκριμένη άσκηση εντάσσεται στα σχολικά πλαίσια. Εκτός αν θεωρήσει κανείς γνωστό για το μαθητή (ή απαιτήσει να αποδείξει) ότι για μια συνάρτηση h:\mathbb R\to\mathbb R γνησίως αύξουσα με \displaystyle{h(\mathbb R)=\mathbb R} είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}. Δε νομίζω ότι είναι προφανές.

christodoulou θέλεις να δώσεις τη λύση σου;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Νοέμ 03, 2010 6:16 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Επιχειρώ να απαντήσω στο Α:
Είναι f(x)=e^x+x^3-x^2+x\Rightarrow f(x)= e^x+(x^2-x+1)x
Θέτω κ=x^2-x+1, κ>0 για κάθε x\in R
Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=κx
Αφού κ>ο για κάθε x\in R η g γνησίως αύξουσα στο R.
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=e^x. H h γνησίως αύξουσα στο R.
Άρα η f γνησίως αύξουσα στο R (ως άθροισμα γνησίως αυξουσών)
Άρα η f "1-1" και αντιστρέψιμη.
Για το Β οι γνώσεις μου δεν φτάνουν.
Ευχαριστώ, Αντώνης
Αντώνη, πρόσεχε!
Η τεχνική που κάνεις, για να ελέγξεις την μονοτονία της συνάρτησης g, είναι λάθος.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση η συνάρτηση είναι, όντως, γνησίως αύξουσα.
Αν όμως, ελέγξεις με τον ίδιο τρόπο την συνάρτηση g(x)=e^x\cdot x, θα κάνεις λάθος: Θα βρεις ότι είναι γνησίως αύξουσα, όμως τότε θα έπρεπε: g(-2)<g(-1), το οποίο, μπορείς να επαληθεύσεις ότι, δεν είναι σωστό.
Αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty, -1] και γνησίως αύξουσα στο [-1,+\infty).
Κι αν σε προβληματίζει γιατί δεν "αποδίδει" πάντα η τεχνική σου, αυτό έχει να κάνει με τις μεταβλητές τιμές που παίρνει το κ: αυτό δεν είναι σταθερός αριθμός. Όταν μεταβάλλονται οι τιμές του χ, (η ανεξάρτητη μεταβλητή της g), μεταβάλλεται και αυτό.


Κώστας Σερίφης
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Νοέμ 03, 2010 6:32 pm

k-ser έγραψε: Αντώνη, πρόσεχε!
Η τεχνική που κάνεις, για να ελέγξεις την μονοτονία της συνάρτησης g, είναι λάθος.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση η συνάρτηση είναι, όντως, γνησίως αύξουσα.
Αν όμως, ελέγξεις με τον ίδιο τρόπο την συνάρτηση g(x)=e^x\cdot x, θα κάνεις λάθος: Θα βρεις ότι είναι γνησίως αύξουσα, όμως τότε θα έπρεπε: g(-2)<g(-1), το οποίο, μπορείς να επαληθεύσεις ότι, δεν είναι σωστό.
Αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty, -1] και γνησίως αύξουσα στο [-1,+\infty).
Κι αν σε προβληματίζει γιατί δεν "αποδίδει" πάντα η τεχνική σου, αυτό έχει να κάνει με τις μεταβλητές τιμές που παίρνει το κ: αυτό δεν είναι σταθερός αριθμός. Όταν μεταβάλλονται οι τιμές του χ, (η ανεξάρτητη μεταβλητή της g), μεταβάλλεται και αυτό.
Μάλιστα, ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση. Είπατε "Κι αν σε προβληματίζει γιατί δεν "αποδίδει" πάντα η τεχνική σου,". Υπάρχουν κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις που "αποδίδει" ή όχι?
Επίσης, επειδή είμαι καινούργιος στο φόρουμ και δεν ξέρω πως πράττουμε σε τέτοιες περιπτώσεις. Να κατεβάσω τη λύση μου καθώς είναι λάθος για να μην μπερδέψει κι άλλους?
Ευχαριστώ, Αντώνης


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τετ Νοέμ 03, 2010 6:43 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Επίσης, επειδή είμαι καινούργιος στο φόρουμ και δεν ξέρω πως πράττουμε σε τέτοιες περιπτώσεις. Να κατεβάσω τη λύση μου καθώς είναι λάθος για να μην μπερδέψει κι άλλους?
Αν σβήσεις την ανάρτησή σου θα μείνει «μετέωρη» η απάντηση του Κώστα. Είναι καλύτερα να την επεξεργαστείς και να προσθέσεις ένα σχόλιο ότι η συγκεκριμένη λύση δεν είναι σωστή με βάση το σχόλιο του Κώστα.
Καλώς ήρθες
Μίλτος


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Νοέμ 03, 2010 6:43 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
k-ser έγραψε: Αντώνη, πρόσεχε!
Η τεχνική που κάνεις, για να ελέγξεις την μονοτονία της συνάρτησης g, είναι λάθος.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση η συνάρτηση είναι, όντως, γνησίως αύξουσα.
Αν όμως, ελέγξεις με τον ίδιο τρόπο την συνάρτηση g(x)=e^x\cdot x, θα κάνεις λάθος: Θα βρεις ότι είναι γνησίως αύξουσα, όμως τότε θα έπρεπε: g(-2)<g(-1), το οποίο, μπορείς να επαληθεύσεις ότι, δεν είναι σωστό.
Αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty, -1] και γνησίως αύξουσα στο [-1,+\infty).
Κι αν σε προβληματίζει γιατί δεν "αποδίδει" πάντα η τεχνική σου, αυτό έχει να κάνει με τις μεταβλητές τιμές που παίρνει το κ: αυτό δεν είναι σταθερός αριθμός. Όταν μεταβάλλονται οι τιμές του χ, (η ανεξάρτητη μεταβλητή της g), μεταβάλλεται και αυτό.
Μάλιστα, ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση. Είπατε "Κι αν σε προβληματίζει γιατί δεν "αποδίδει" πάντα η τεχνική σου,". Υπάρχουν κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις που "αποδίδει" ή όχι?
Επίσης, επειδή είμαι καινούργιος στο φόρουμ και δεν ξέρω πως πράττουμε σε τέτοιες περιπτώσεις. Να κατεβάσω τη λύση μου καθώς είναι λάθος για να μην μπερδέψει κι άλλους?
Ευχαριστώ, Αντώνης
Αντώνη, έκανες πολύ καλή παρατήρηση: Σε ποιες περιπτώσεις αποδίδει η τεχνική μου;
Λέω να το αφήσουμε σαν άσκηση. Μπορείς και ο ίδιος να το ψάξεις. Σε πολλές περιπτώσεις οι μαθηματικοί, και όχι μόνο αυτοί, χρησιμοποιούν αυτή τον τρόπο σκέψης: πότε αυτό είναι σωστό; Μια τέτοια διερεύνηση μας βοηθάει να μάθουμε καλύτερα.
Όσο για το "να διαγράψεις τη λύση σου για να μην μπερδευτούν άλλοι" δεν θα το πρότεινα, εφόσον ακολουθεί η επισήμανση του λάθους. Και αυτή η επισήμανση, τις περισσότερες φορές, διδάσκει περισσότερο από την απόκρυψη του λάθους. Ίσως, όχι πάντα!


Κώστας Σερίφης
christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Τετ Νοέμ 03, 2010 7:50 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:χμ, δεν ξέρω κατά πόσο η συγκεκριμένη άσκηση εντάσσεται στα σχολικά πλαίσια. Εκτός αν θεωρήσει κανείς γνωστό για το μαθητή (ή απαιτήσει να αποδείξει) ότι για μια συνάρτηση h:\mathbb R\to\mathbb R γνησίως αύξουσα με \displaystyle{h(\mathbb R)=\mathbb R} είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}. Δε νομίζω ότι είναι προφανές.

christodoulou θέλεις να δώσεις τη λύση σου;
Έχουμε ,
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}-x^{2}+x) =  
\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})) = +\infty}


Μηδένα προ του τέλους μακάριζε...
christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Τετ Νοέμ 03, 2010 8:02 pm

Α. f^{\prime}(x) = e^x +3x^2 - 2x + 1 =e^x +2x^2 + (x - 1)^2 > 0  \,\, άρα f γνήσιως αύξουσα, οπότε 1-1.

Β. Αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}-x^{2}+x) =  
\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}) = +\infty} η f(x)=y τείνει στο άπειρο καθώς χ τείνει στο άπειρο, οπότε βάζοντας x = f(y) στο παραπάνω όριο έχουμε

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f^{-1}(x)}{lnx} = \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{y}{lnf(y)} =   \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{y}{ln(e^y + y^3 - y^2 + y)}

που με De l' Hospital \frac{\infty}{\infty} ισούται με

\displaystyle \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{e^y + y^3 - y^2 + y}{e^y + 3y^2 - 2y + 1} = 1


Μηδένα προ του τέλους μακάριζε...
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Νοέμ 03, 2010 9:14 pm

christodoulou έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:χμ, δεν ξέρω κατά πόσο η συγκεκριμένη άσκηση εντάσσεται στα σχολικά πλαίσια. Εκτός αν θεωρήσει κανείς γνωστό για το μαθητή (ή απαιτήσει να αποδείξει) ότι για μια συνάρτηση h:\mathbb R\to\mathbb R γνησίως αύξουσα με \displaystyle{h(\mathbb R)=\mathbb R} είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}. Δε νομίζω ότι είναι προφανές.

christodoulou θέλεις να δώσεις τη λύση σου;
Έχουμε ,
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}-x^{2}+x) =  
\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+x^{3}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})) = +\infty}
Δε διαφωνώ σε αυτό, όμως το ρόλο της h σε αυτό που λέω παραπάνω τον έχει η f^{-1} στο πρόβλημά μας.
christodoulou έγραψε:... η f(x)=y τείνει στο άπειρο καθώς χ τείνει στο άπειρο, οπότε βάζοντας x = f(y) στο παραπάνω όριο έχουμε

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f^{-1}(x)}{lnx} = \lim_{\color{red}y\color{black}\rightarrow+\infty}\frac{y}{lnf(y)} =   \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{y}{ln(e^y + y^3 - y^2 + y)}...
σύμφωνα με αυτό που γράφεις θα έπρεπε στο κοκκινισμένο σημείο να είναι f(y) και το ερώτημα είναι: γιατί f(y)\to+\infty\Rightarrow y\to+\infty ;

Για να ισχύει αυτό, αρκεί αυτό που γράφω στην πάνω παράθεση. Κάνω λάθος;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mulder
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2009 6:43 pm

Re: Αντίστροφη - Όρια

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mulder » Τετ Νοέμ 03, 2010 9:28 pm

kwstas12345 έγραψε: Αρκεί πρώτα να δειντεί πως όταν \displaystyle x\rightarrow \infty \Rightarrow f^{-1}\left(x \right)\rightarrow \infty για

να μπορέσω να πω πως \displaystyle f\left(x\right)\rightarrow \infty\Rightarrow x\rightarrow \infty.
αυτό είναι σίγουρο;εννοώ δηλαδή,είναι αυστηρή απόδειξη;


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Πέμ Νοέμ 04, 2010 8:40 am

Τελικά, σ' αυτό το post έχουμε την εφαρμογή κάποιων τεχνικών οι οποίες, αν δεν είναι λάθος όπως η λύση του Αντώνη, τουλάχιστον θέλουν προσοχή όπως στη λύση που προτείνει ο christodoulou και την οποία δεν έλεγξα αναλυτικά- θα το κάνω μόλις βρω λίγο χρόνο.

Το όριο μου θύμισε κάποια άλλη άσκηση, την παραθέτω στο συνημμένο και στη λύση της ο συγγραφέας εφάρμοσε μια περίεργη τεχνική. Δικαιολογήστε τα καυστικά σχόλια μου: η λύση της άσκησης απευθυνόταν σε μαθητές που προετοιμαζόταν για εξετάσεις.
askisi.pdf
(511.45 KiB) Μεταφορτώθηκε 129 φορές


Κώστας Σερίφης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Αντίστροφη - Όρια

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Νοέμ 04, 2010 9:29 am

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:χμ, δεν ξέρω κατά πόσο η συγκεκριμένη άσκηση εντάσσεται στα σχολικά πλαίσια. Εκτός αν θεωρήσει κανείς γνωστό για το μαθητή (ή απαιτήσει να αποδείξει) ότι για μια συνάρτηση h:\mathbb R\to\mathbb R γνησίως αύξουσα με \displaystyle{h(\mathbb R)=\mathbb R} είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}. Δε νομίζω ότι είναι προφανές.

christodoulou θέλεις να δώσεις τη λύση σου;
Αναστάση καλημέρα

Βρίσκουμε εύκολα ότι το σύνολο τιμών της f (πεδίο ορισμού της αντίστροφης) είναι το R.
Το σύνολο τιμών της αντίστροφης είναι το πεδίο ορισμoύ της f , δηλαδή το R . Αποδεικνύοντας ότι η \displaystyle{f^{ - 1} } είναι γνησίως αύξουσα (και θεωρώντας ότι η \displaystyle{f^{ - 1} } είναι συνεχής , θα έπρεπε να δίνεται διαφορετικά ξεφεύγουμε)
έχουμε (χρησιμοποιώντας θεώρημα του σχολικού) ότι:

\displaystyle{ 
f^{ - 1} \left( {\left( { - \infty , + \infty } \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f^{ - 1} (x),\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f^{ - 1} (x)} \right) = ( - \infty , + \infty )\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f^{ - 1} (x) =  - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f^{ - 1} (x) =  + \infty \,} (το έχει αποδείξει και ο Κώστας πιο πάνω)

Αν \displaystyle{u = f^{ - 1} (x)\,\,(x = f(u)\,\,)\,} τότε \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } u = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f^{ - 1} (x) =  + \infty \,} οπότε \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f^{ - 1} (x)\,}}{{\ln x}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \frac{u}{{\ln \left( {f(u)} \right)}} =  \cdot  \cdot  \cdot }

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Αντίστροφη - Όρια

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Πέμ Νοέμ 04, 2010 12:28 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Επιχειρώ να απαντήσω στο Α:
Είναι f(x)=e^x+x^3-x^2+x\Rightarrow f(x)= e^x+(x^2-x+1)x
Θέτω κ=x^2-x+1, κ>0 για κάθε x\in R
Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=κx
Αφού κ>ο για κάθε x\in R η g γνησίως αύξουσα στο R.
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=e^x. H h γνησίως αύξουσα στο R.
Άρα η f γνησίως αύξουσα στο R (ως άθροισμα γνησίως αυξουσών)
Άρα η f "1-1" και αντιστρέψιμη.
Για το Β οι γνώσεις μου δεν φτάνουν.
!!!Σημείωση: H παραπάνω απόδειξη όπως εξηγεί πιο κάτω ο κύριος Σερίφης περιέχει κάποιο σφάλμα στο συλλογισμό.
Ευχαριστώ, Αντώνης

για να μην παει χαμενο το σκεπτικο σου περι αθροισματος γνησιως αυξουσων συναρτησεων ,με μια συμπλήρωση κύβου
η f γραφεται f(x)=e^{x}+(x-\frac{1}{3})^{3}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{27} που ειναι αθροισμα γν.αυξουσων συναρτησεων και αποδεικνυεται μεσω του ορισμου μονοτονιας
τελευταία επεξεργασία από makisman σε Πέμ Νοέμ 04, 2010 12:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη - Όρια

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Νοέμ 04, 2010 12:36 pm

Γιώργο καλημέρα και σε σένα. Ακριβώς αυτό που λες έχω και εγώ στο μυαλό μου. Ή θα έπρεπε να δίνεται η συνέχεια της f^{-1} και η λύση να κυλήσει όπως τη γράφεις, είτε, σε περίπτωση που δε δίνεται όπως εδώ, να απαιτηθεί από το μαθητή ή να θεωρήσει γνωστό ή να αποδείξει αυτό που γράφω στην παράθεση. Σε κάθε περίπτωση, η λύση της άσκησης με την εκφώνηση που δίνεται ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης