Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Παρ Νοέμ 05, 2010 11:12 am

Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1},  \\ 
   4,  \\ 
\end{matrix} \right.\begin{matrix} 
   \alpha \nu   \\ 
   \alpha \nu   \\ 
\end{matrix}\begin{matrix} 
   x\ne 1  \\ 
   x=1  \\ 
\end{matrix}}. Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής.
.............................................................ΛΥΣΗ
Η f έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{\Alpha =\mathbb{R}} και είναι συνεχής στο \displaystyle{\left( -\infty ,1 \right)\cup \left( 1,+\infty  \right)} ως ρητή.
Στο x0 = 1, θα πρέπει \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)=4} (1).
\displaystyle{f(1)=4}
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1}=\frac{\alpha +\beta -3}{0}}
Αναγκαία \displaystyle{\alpha +\beta -3=0} (2) αφού \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4} ,επιστρέφω λοιπόν στο αρχικό όριο και θέτω όπου β=3-α οπότε
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\left( 3-\alpha  \right)x-3}{x-1}\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop =}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha x\left( x-1 \right)+3\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \alpha x+3 \right)=\alpha +3}
Άρα \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4\Leftrightarrow \alpha +3=4\Leftrightarrow \alpha =1}.
Από τη σχέση (2) για α = 1 προκύπτει β = 2 , οπότε οι ζητούμενες τιμές είναι α = 1 και β = 2.
...........................................................Μονάδες 25
Εγώ του βάζω 25 στα 25


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:02 pm

Γειά σας
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:...Αναγκαία \displaystyle{\alpha +\beta -3=0} (2) αφού \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4}...
Αυτό θέλει επιπλέον τεκμηρίωση και ο μαθητής οφείλει να το γνωρίζει.
Κατά την γνώμη μου η απάντηση δεν μπορεί να πάρει πάνω από τα 2/3 της βαθμολογίας.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:05 pm

Κώστα θα συμφωνήσω με τον Νίκο.

Ο συγκεκριμένος μαθητής καταλαβαίνει τι πρέπει να συμβαίνει, αλλά δεν το αποδεικνύει το παίρνει έτοιμο.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:15 pm

Συμφωνώ με τον Νίκο και Λευτέρη.
Κατά τη γνώμη μου θα έπρεπε να δηλώσει:
Το όριο είναι της μορφής,\displaystyle{\frac{{\alpha  + \beta  - 3}}{0}}
Έστω α+β-3 =/= 0,τότε το όριο δεν ανήκει στο R, άτοπο, άρα α+β-3 = 0.

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:29 pm

Μπορεί να κάνει το εξής
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\left( {\alpha {x^2} + \beta x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\left[ {\frac{{\alpha {x^2} + \beta x - 3}}{{x - 1}} \cdot \left( {x - 1} \right)} \right] = 4 \cdot 0 = 0
(όπως στην απόδειξη, παραγωγίσιμη τότε συνεχής)
ή
Για χ διαφορετικό του 1, είναι
\left( {x - 1} \right)f\left( x \right) = \alpha {x^2} + \beta x - 3 \Rightarrow 4 \cdot 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\left( {\alpha {x^2} + \beta x - 3} \right)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:47 pm

Νικό, Λευτέρη,Χρήστο Βασίλη
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Την παρακάτω άσκηση την λύνω με τρεις τρόπους(Συνημμένο )
1ος Για κάλους μαθητές(με τεκμηρίωση )
2ος Για αυτούς που δεν διαβάζουν (αν αρχίσουν και παίρνουν περιπτώσεις χάθηκαν )
3ος Για όλους
Τώρα βάζοντας την σημείωση με τα κόκκινα το σώνει .

Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1},  \\ 
   4,  \\ 
\end{matrix} \right.\begin{matrix} 
   \alpha \nu   \\ 
   \alpha \nu   \\ 
\end{matrix}\begin{matrix} 
   x\ne 1  \\ 
   x=1  \\ 
\end{matrix}}. Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής.
.............................................................ΛΥΣΗ
Η f έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{\Alpha =\mathbb{R}} και είναι συνεχής στο \displaystyle{\left( -\infty ,1 \right)\cup \left( 1,+\infty  \right)} ως ρητή.
Στο x0 = 1, θα πρέπει \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)=4} (1).
\displaystyle{f(1)=4}
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1}=\frac{\alpha +\beta -3}{0}}
Αναγκαία \displaystyle{\alpha +\beta -3=0} (2) αφού \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4} ,

Σημείωση: Καλύτερα να γραφούμε
Επειδή \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \alpha {{x}^{2}}+\beta x-3 \right)=\alpha +\beta -3}, \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0}και \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)=4\in \mathbb{R}}, θα πρέπει α + β – 3 = 0 (2).



επιστρέφω λοιπόν στο αρχικό όριο και θέτω όπου β=3-α οπότε
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\left( 3-\alpha  \right)x-3}{x-1}\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop =}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha x\left( x-1 \right)+3\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \alpha x+3 \right)=\alpha +3}
Άρα \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4\Leftrightarrow \alpha +3=4\Leftrightarrow \alpha =1}.
Από τη σχέση (2) για α = 1 προκύπτει β = 2 , οπότε οι ζητούμενες τιμές είναι α = 1 και β = 2.
...........................................................Μονάδες 25
Εγώ του βάζω 25 στα 25
Συνημμένα
Δίνεται η συνάρτηση.pdf
(120.15 KiB) Μεταφορτώθηκε 157 φορές


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Παρ Νοέμ 05, 2010 2:49 pm

Έχω και εγώ κάτι κάτι παρόμοιο. Γι' αυτό τι γνώμη έχετε;

Να βρεθεί το \lim_{x\rightarrow 1}f\left(x \right). Όταν \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-4}{f\left(x \right)}=+\propto. (Άσκηση 4i) Βομάδα Σελ 182 Σχολικό)

Απάντηση (Μαθητή): Αφού το όριο στο 1 είναι +\propto και \lim_{x\rightarrow 1}x-4=-3\neq 0 πρέπει αναγκαία \lim_{x\rightarrow1 }f\left(x \right)=0.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Νοέμ 05, 2010 3:12 pm

pana1333 έγραψε:Έχω και εγώ κάτι κάτι παρόμοιο. Γι' αυτό τι γνώμη έχετε;

Να βρεθεί το \lim_{x\rightarrow 1}f\left(x \right). Όταν \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-4}{f\left(x \right)}=+\propto. (Άσκηση 4i) Βομάδα Σελ 182 Σχολικό)

Απάντηση (Μαθητή): Αφού το όριο στο 1 είναι +\propto και \lim_{x\rightarrow 1}x-4=-3\neq 0 πρέπει αναγκαία \lim_{x\rightarrow1 }f\left(x \right)=0.
Επειδή πολλές φορές έχω αντιμετωπίσει την κατάσταση που περιγράφει ο Κώστας και ο Χρήστος κάθε χρόνο ζητώ από τους μαθητές μου να απαντήσουν στην επόμενη άσκηση:

Θεωρούμε τις συναρτήσεις
f\left( x \right) = 1 + x^2
και
h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
     x^3 ,\,\,\,\,\,\,x < 0 \\  
     1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0\,\,\, \\  
     \end{array} \right..
Να βρείτε αν υπάρχουν τιμές του \lambda ώστε να ισχύει
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-\lambda}{h(x)}=0
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Νοέμ 05, 2010 6:53 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1},  \\ 
   4,  \\ 
\end{matrix} \right.\begin{matrix} 
   \alpha \nu   \\ 
   \alpha \nu   \\ 
\end{matrix}\begin{matrix} 
   x\ne 1  \\ 
   x=1  \\ 
\end{matrix}}. Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής.
.............................................................ΛΥΣΗ
Η f έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{\Alpha =\mathbb{R}} και είναι συνεχής στο \displaystyle{\left( -\infty ,1 \right)\cup \left( 1,+\infty  \right)} ως ρητή.
Στο x0 = 1, θα πρέπει \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)=4} (1).
\displaystyle{f(1)=4}
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3}{x-1}=\frac{\alpha +\beta -3}{0}}
Αναγκαία \displaystyle{\alpha +\beta -3=0} (2) αφού \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4} ,επιστρέφω λοιπόν στο αρχικό όριο και θέτω όπου β=3-α οπότε
\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha {{x}^{2}}+\left( 3-\alpha  \right)x-3}{x-1}\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop =}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha x\left( x-1 \right)+3\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \alpha x+3 \right)=\alpha +3}
Άρα \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=4\Leftrightarrow \alpha +3=4\Leftrightarrow \alpha =1}.
Από τη σχέση (2) για α = 1 προκύπτει β = 2 , οπότε οι ζητούμενες τιμές είναι α = 1 και β = 2.
...........................................................Μονάδες 25
Εγώ του βάζω 25 στα 25
Έχουμε γράψει πολλές φορές ότι η βαθμολόγηση ενός ερωτήματος δεν μπορεί να είναι ξεκομένη από τη γενική εικόνα ενός γραπτού.
Για να μη μακρυγορώ όμως, μια και η ερώτηση του Κώστα είναι καλή αφορμή για συζήτηση , προσωπικά από μια τέτοια απάντηση θα αφαιρούσα το πολύ μία μονάδα (από ένα καλό γραπτό - το τονίζω) μόνο και μόνο για την παράλειψη της αιτιολόγησης :

'' διότι διαφορετικά το όριο αυτό ή δεν θα υπήρχε ή θα ήταν + ή - άπειρο ''.

Ένας μαθητής δεν θα πήγαινε ποτέ στην αναγκαία σχέση α+β-3 = 0 , αν δεν ήταν καλός γνώστης των ορίων και της σχετικής θεωρίας, πόσο μάλλον να συνεχίσει την άσκηση. Με το σκεπτικό λοιπόν ότι δεν θα ήθελα να στερήσω από έναν καλό μαθητή - και καλό μυαλό - μονάδες, θα ήμουνα επιεικής και θα αφαιρούσα ελάχιστα ή καθόλου. Από ένα γραπτό όμως γύρω στο 15 θα αφαιρούσα ίσως και 2-3 μονάδες στις 25, κάτι που φυσικά δεν είναι τρομερή απώλεια !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 06, 2010 12:50 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ένας μαθητής δεν θα πήγαινε ποτέ στην αναγκαία σχέση α+β-3 = 0 , αν δεν ήταν καλός γνώστης των ορίων και της σχετικής θεωρίας, πόσο μάλλον να συνεχίσει την άσκηση.
Θα συμφωνήσω με αυτήν την άποψη. Θέλω όμως να ρωτήσω κάτι άλλο. Δεν πρέπει να κόβουμε μονάδες από εκφράσεις όπως
=\frac{\alpha +\beta -3}{0}
Θεωρώ ότι ένα καλός μαθητής οφείλει να γνωρίζει ότι αυτό δεν έχει νόημα και να γράψει διαφορετικά τι θέλει να πει. (Μάλιστα εδώ με τον καλό μαθητή θα ήμουν πιο αυστηρός.)


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Νοέμ 06, 2010 1:28 pm

Demetres έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ένας μαθητής δεν θα πήγαινε ποτέ στην αναγκαία σχέση α+β-3 = 0 , αν δεν ήταν καλός γνώστης των ορίων και της σχετικής θεωρίας, πόσο μάλλον να συνεχίσει την άσκηση.
Θα συμφωνήσω με αυτήν την άποψη. Θέλω όμως να ρωτήσω κάτι άλλο. Δεν πρέπει να κόβουμε μονάδες από εκφράσεις όπως
=\frac{\alpha +\beta -3}{0}
Θεωρώ ότι ένα καλός μαθητής οφείλει να γνωρίζει ότι αυτό δεν έχει νόημα και να γράψει διαφορετικά τι θέλει να πει. (Μάλιστα εδώ με τον καλό μαθητή θα ήμουν πιο αυστηρός.)
Είναι η σειρά μου να διαφωνήσω με τους φίλους Μπάμπη και Δημήτρη.
Για το πρώτο ζήτημα:
" Ένας μαθητής δεν θα πήγαινε ποτέ στην αναγκαία σχέση α+β-3 = 0 , αν δεν ήταν καλός γνώστης..."
Η πείρα μας έχει δείξει το ενάντιο. Πολλοί μαθητές γράφουν κατ΄ευθείαν την σχέση "όριο του αριθμητή ίσον μηδέν" απλά και μόνον επειδή έτσι τους έχει πει κάποιος καθηγητής τους (στο σχολείο ή στο φροντιστήριο δεν έχει σημασία) και το κάνουν μηχανικά. Δηλαδή λένε :
Αφού έχω όριο "κάτι"/0 για να είναι αυτό το όριο αριθμός πρέπει το "κάτι" να είναι 0
Μάλιστα μερικοί δεν κοιτάνε καν το όριο του παρονομαστή και κοπανάνε
"όριο αριθμητή ίσον μηδέν"
Αυτός είναι ο λόγος που έφτιαξα και διδάσκω την απλή άσκηση που παρέθεσα. Οι λανθασμένες απαντήσεις σε ένα διαγώνισμα με ανάγκασαν να το κάνω. Επομένως όταν βλέπω ότι κάποιος μαθητής πάει χωρίς κάποια εξήγηση στο "όριο αριθμητή ίσον μηδέν" δεν ησυχάζω ότι το έχει καταλάβει. Στο κάτω κάτω καλός μαθητής είναι να έχει μάθει και τους κανόνες του παιγνιδιού και να δίνει εξηγήσεις.
Το δεύτερο σημείο που αναφέρει ο Δημήτρης δεν με ανησυχεί καθόλου ή σχεδόν καθόλου. Γράφοντας το ο μαθητής καταγράφει μια περίπτωση
"έχω πηλίκο που ο αριθμητής πάει κάπου (θα δούμε που) και ο παρονομαστής πάει στο 0"
Πρόκειται για σήμανση και όχι για εκτέλεση πράξης. Όπως και μεις γράφουμε 0/0 όταν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες του De l' Hospital και σε καμία περίπτωση δεν εννοούμε ότι εκτελούμε την πράξη.
Βέβαια θα συμφωνήσω με τον Μπάμπη ότι ουσιώδες κριτήριο είναι και το όλο γραπτό.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Νοέμ 06, 2010 5:46 pm

Μια παρατήρηση – απορία σχετικά με το συνημμένο του Κώστα .

Μπορούμε να αντιμετωπίζουμε τα σύμβολα +∞ , - ∞ σαν αριθμούς
και να κάνουμε πράξεις με αυτά ;
Το σχολικό βιβλίο ,νομίζω, ότι τα αντιμετωπίζει σαν αποτελέσματα πράξεων
μεταξύ ορίων , δηλαδή αν το όριο της f είναι 3 και της g είναι +∞ ,
τότε το όριο της fg είναι +∞ .
Στο βιβλίο της Α΄ δέσμης στο οποίο γίνονταν πράξεις είχε εισαχθεί το σύνολο
R συμπαγές = RU {-∞ , + ∞ } .

Καλαθάκης Γιώργης


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Κυρ Νοέμ 07, 2010 3:22 pm

Γιώργη
Πιστεύω πως ναι γίνονται ,( αν και με το \displaystyle{\overline{R}}θα ήταν καλυτέρα ) διότι:

Σελ 180- σχολικό
Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:
\displaystyle{\mathbf{(}+\infty \mathbf{)}+\mathbf{(}-\infty \mathbf{)}} και \displaystyle{\mathbf{0}\cdot \mathbf{(}\pm \infty )}.
Επειδή \displaystyle{f-g=f+(-g)} και \displaystyle{\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}}, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:
\displaystyle{\mathbf{(}+\infty \mathbf{)}-\mathbf{(}+\infty \mathbf{)}}, \displaystyle{\mathbf{(}-\infty \mathbf{)}-\mathbf{(}-\infty \mathbf{)}} και \displaystyle{\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}}, \displaystyle{\frac{\pm \infty }{\pm \infty }}.
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι άλλες πράξεις ,αθροίσματος , γινομένου και πηλίκου με τα \displaystyle{\mathbf{(}\pm \infty )}γίνονται.

Διαφορετικά πως υπολογίζουμε το \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,2x=2\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x=;}


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Οκτ 28, 2012 8:01 pm

Ένα ερώτημα που πάντα με απασχολεί σε τέτοιες ασκήσεις: Θα πρέπει οι μαθητές να κάνουν επαλήθευση των τιμών των a,\beta;;


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Κυρ Οκτ 28, 2012 8:40 pm

pito έγραψε:Ένα ερώτημα που πάντα με απασχολεί σε τέτοιες ασκήσεις: Θα πρέπει οι μαθητές να κάνουν επαλήθευση των τιμών των a,\beta;;
Νομίζω πως πρέπει να γίνεται επαλήθευση στην περίπτωση που στην εκφώνηση υπάρχει η έκφραση ¨ώστε το όριο να είναι πραγματικός αριθμός/ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής" κλπ γιατί μπορεί η απάντηση να είναι: για καμιά τιμή των \alpha ,\beta το όριο δεν είναι πραγματικός αριθμός/η συνάρτηση δεν είναι συνεχής κλπ.

Σε κάποιες περιπτώσεις ο τρόπος λύσης που ακολουθείται μπορεί να καλύπτει και το τμήμα της επαλήθευσης.


Αποστόλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης