Τιμές αντίστροφης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Τιμές αντίστροφης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Νοέμ 06, 2010 12:17 am

Έστω f μία αντιστρέψιμη συνάρτηση στο σύνολο των πραγματικών κα g συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει g(x)=2f(x)+5 για όλους τους πραγματικούς. Να βρείτε τον τύπο της \displaystyle{{g^{ - 1}}\left( x \right)} συναρτήσει της \displaystyle{{f^{ - 1}}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Τιμές αντίστροφης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Νοέμ 06, 2010 1:46 am

Κατ' αρχήν η συνάρτηση g αντιστρέφεται στο R γιατί εφόσον η f αντιστρέφεται στο R, θα είναι (η f) μια συνάρτηση 1 - 1 και συνεπώς:
για κάθε x_{1},x_{2}\in R με x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})\Rightarrow 2f(x_{1})+5\neq 2f(x_{2})+5\Rightarrow g(x_{1})\neq g(x_{2})
που σημαίνει οτι η g είναι συνάρτηση 1-1 δηλαδή αντιστρέφεται.
Έστω ακόμα ότι:
g^{-1}(y)=w,y\in R
Τότε: y=g(w)=2f(w)+5 και συνεπώς: g^{-1}(y)=g^{-1}(2f(w)+5)=w (1)
Θέτοντας τώρα όπου: 2f(w)+5=x προκύπτει: f(w)=\frac{x-5}{2} ή ακόμα w=f^{-1}(\frac{x-5}{2})
και αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:
g^{-1}(x)=f^{-1}(\frac{x-5}{2})

Σχόλιο: Θεωρήθηκε ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο τιμών το R.(Διαφορετικά εργαζόμαστε παρόμοια)


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Τιμές αντίστροφης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Νοέμ 06, 2010 10:49 pm

Και εδώ υπάρχει ασάφεια και κακή διατύπωση
Πιο καλά όπως επισημάνθηκε είναι να δώσουμε τα σύνολα τιμών R και να ζητάμε σε προηγούμενο υποερώτημα την απόδειξη αντιστρεψιμότητας της g

Για \displaystyle{x = {g^{ - 1}}\left( y \right)}

\displaystyle{y = 2f\left( {{g^{ - 1}}\left( y \right)} \right) + 5 \Rightarrow f\left( {{g^{ - 1}}\left( y \right)} \right) = \frac{{y - 5}}{2} \Rightarrow {g^{ - 1}}\left( y \right) = {f^{ - 1}}\left( {\frac{{y - 5}}{2}} \right),y \in g\left( R \right) \wedge \frac{{y - 5}}{2} \in f\left( R \right)}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης