Σελίδα 1 από 1

Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 07, 2010 1:37 pm
από Aladdin
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με Df = R για την οποία ισχύει f(2x) = f(x) για κάθε x στο R. Nα δείξετε ότι η f είναι σταθερή

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 07, 2010 1:50 pm
από Ωmega Man
Πές ότι δεν είναι σταθερή και κατέληξε σε άτοπο.

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 07, 2010 3:12 pm
από R BORIS
εναλλακτικά Με επαγωγή \displaystyle{ f(x)=f(x/2^n),n\in N } πάρε όρια όταν \displaystyle{n\to +\infty }

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 07, 2010 3:20 pm
από Mihalis_Lambrou
Μαθηματικός έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με Df = R για την οποία ισχύει f(2x) = f(x) για κάθε x στο R. Nα δείξετε ότι η f είναι σταθερή
Για κάθε a στο R, η υπόθεση δίνει f(a) = f(a/2) = f(a/4) = f(a/8) = ... = f(a/2^n)= ...

Παίρνοντας όριο n τείνοντος στο άπειρο και από συνέχεια της f στο 0 έπεται f(a) = \lim_nf(a/2^n) = f(0).

Άρα η f σταθερή.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Υ.Γ. Γιώργο (Οmega Man) δεν καταλαβαίνω την απόδειξή σου. Π.χ. που μπήκε η συνέχεια; Υπόψη οτι είναι απαραίτητη (έστω μόνο στο 0, όπως στο παραπάνω) γιατί η συνάρτηση f(x) = 1 αν x ρητός και 0 αλλιώς ικανοποιεί τις συνθήκες αλλά όχι το συμπέρασμα.

Edit: Ροδόλφε με πρόλαβες. Το αφήνω λόγω του σχολίου.

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 07, 2010 5:15 pm
από S.E.Louridas
Ας μου επιτραπεί μία αναφορά:

Ανδρέα Ι. Πούλου : ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ σελίδα 111 ( στην γενικώτερη μορφή f(ax)=f(x), γιά κάθε πραγματικό αριθμό x, οταν a σταθερά διάφορη του -1 και του +1 και η f είναι συνεχής στο μηδέν (0)).

Eπίσης υπάρχει αναφορά στην εργασία του Ροδόλφου Μπόρη: Ασκήσεις Ανάλυσης εδώ στο mathematica.

S.E.Louridas

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 08, 2010 1:12 am
από Aladdin
Ευχαριστώ πολύ

Re: Μια ακόμη απορία

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 08, 2010 3:00 am
από Ωmega Man
Υ.Γ. Γιώργο (Οmega Man) δεν καταλαβαίνω την απόδειξή σου. Π.χ. που μπήκε η συνέχεια; Υπόψη οτι είναι απαραίτητη (έστω μόνο στο 0, όπως στο παραπάνω) γιατί η συνάρτηση f(x) = 1 αν x ρητός και 0 αλλιώς ικανοποιεί τις συνθήκες αλλά όχι το συμπέρασμα.
Μιχάλη έχεις δίκιο πολύ αψήφιστα το πήρα....