Σελίδα 1 από 1

Δηλαδή...δε γίνεται...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 15, 2009 9:05 am
από Κοτρώνης Αναστάσιος
Έστωf_{0},\ldots,f_{n} πολυωνυμικές συναρτήσεις ώστε f_{n}(x)e^{nx}+f_{n-1}(x)e^{(n-1)x}+\ldots+f_{0}(x)=0\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Να δειχθεί ότι f_{n}=\ldots=f_{0}=0.

Re: Δηλαδή...δε γίνεται...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 15, 2009 9:54 am
από Mihalis_Lambrou
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστωf_{0},\ldots,f_{n} πολυωνυμικές συναρτήσεις ώστε f_{n}(x)e^{nx}+f_{n-1}(x)e^{(n-1)x}+\ldots+f_{0}(x)=0\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Να δειχθεί ότι f_{n}=\ldots=f_{0}=0.
Την έχουμε άσκηση (σπασμένη σε βήματα) στο βιβλίο μας "Επαναληπτικά Θέματα" σελίς 298. Την είχα πρωτοδεί ως πρωτοετής φοιτητής, και μου είχε κάνει πολύ εντύπωση.

Υπόδειξη: Διαιρούμε με το e^{nx} και παίρνουμε όριο στο + \infty.
Οι περισσότεροι όροι τείνουν στο 0 και μένει μόνο το \lim_{x \rightarrow \infty}f_n(x). Συμπεραίνουμε ότι πρέπει και \lim_{x \rightarrow \infty}f_n(x) = 0, που σημαίνει ότι f_n σταθερό, και μάλιστα 0. Και λοιπά.

Φιλικά

Μιχάλης

Re: Δηλαδή...δε γίνεται...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 15, 2009 12:51 pm
από Mihalis_Lambrou
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστωf_{0},\ldots,f_{n} πολυωνυμικές συναρτήσεις ώστε f_{n}(x)e^{nx}+f_{n-1}(x)e^{(n-1)x}+\ldots+f_{0}(x)=0\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Να δειχθεί ότι f_{n}=\ldots=f_{0}=0.
Άλλος τρόπος.

Υπόδειξη:
α) Παραγωγίζουμε όσες φορές χρειάζεται μέχρι που να εξαφανιστεί το f_0.
β) Η νέα παράσταση είναι την μορφής (nf_n(x) + f^\prime _n(x))e^{nx} + ... +(f_1(x) + f^\prime _1(x))e^{x}= 0
γ) διαιρούμε με το e^x, οπότε βρίσκουμε παράσταση παρόμοια με την αρχική, μόνο που έχει έναν όρο λιγότερο φτάνοντας μέχρι το e^{(n-1)x}.
δ) Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι που να μείνει μόνο το f_n και οι παράγωγοί του.
ε) Αν f_n(x) = a_mx^m + ... +a_0 , θα
Καταλήξουμε ίσόττητα της μορφής n!a_mx^m + ... = 0 , άρα m = 0
και άρα f_n σταθερό.
στ) Με παραγωγίσεις όπως στο βήμα α) θα καταλήξουμε ότι οι σταθερές στο ε) είναι 0.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου