Να βρεθει το οριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Να βρεθει το οριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Απρ 15, 2009 8:20 pm

Αν % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj 
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B 
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8 
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9 
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake 
% aacaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaey4kaSIaamyzamaaCaaaleqa 
% baGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaakiabg2da9iaadIhacqGHsi 
% slcaaIXaaaaa!450C! 
f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1\displaystyle{ 
για κάθε χ του R ,να βρείτε το  
 
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Απρ 15, 2009 8:31 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αν % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj 
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B 
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8 
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9 
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake 
% aacaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaey4kaSIaamyzamaaCaaaleqa 
% baGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaakiabg2da9iaadIhacqGHsi 
% slcaaIXaaaaa!450C! 
f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1\displaystyle{ 
για κάθε χ του R ,να βρείτε το  
 
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..
Τα υποερωτήματα ίσως είναι
ι) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
ιι) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ιιι) Να υπολογιστεί το όριο που έδωσε ο Κώστας (νομίζω βγαίνει -οο)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Απρ 15, 2009 8:39 pm

Σωστός
mathxl έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αν % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj 
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B 
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8 
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9 
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake 
% aacaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaey4kaSIaamyzamaaCaaaleqa 
% baGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaakiabg2da9iaadIhacqGHsi 
% slcaaIXaaaaa!450C! 
f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1\displaystyle{ 
για κάθε χ του R ,να βρείτε το  
 
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..
Τα υποερωτήματα ίσως είναι
ι) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
ιι) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ιιι) Να υπολογιστεί το όριο που έδωσε ο Κώστας (νομίζω βγαίνει -οο)


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Απρ 16, 2009 8:58 pm

ΛΥΣΗ
Α. Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
f^{\prime}(x) + e^{f(x)}  \cdot f^{\prime}(x) = 1
f^{\prime}(x)(1 + e^{f(x)} ) = 1
f^{\prime}(x) = \frac{1}{{1 + e^{f(x)} }} > 0
Επομένως η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1 – 1, συνεπώς αντιστρέφεται και ισχύει:
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (y)
Άρα έχουμε:
f(x) + e^{f(x)}  = x - 1
y + e^y  = f^{ - 1} (y) - 1
f^{ - 1} (y) = e^y  + y + 1
Όμως f^{ - 1} (0) = e^0  + 0 + 1 = 2 άρα f(2) = 0
Επομένως μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0 είναι η x = 2 και επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα η λύση αυτή είναι η μοναδική.

Γ. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f(2) = 0, τότε για x > 2 η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα είναι f(x) >0, άρα f(2009) > 0 και f(2008) > 0, οπότε το όριο γράφεται:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(2009) \cdot x^3 }}{{f(2008) \cdot x^2 }} = \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}( - \infty ) =  - \infty


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Πέμ Απρ 16, 2009 9:07 pm

Σπυρο δεν ειναι παραγωγισιμη ..
spyrosk έγραψε:ΛΥΣΗ
Α. Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
f^{\prime}(x) + e^{f(x)}  \cdot f^{\prime}(x) = 1
f^{\prime}(x)(1 + e^{f(x)} ) = 1
f^{\prime}(x) = \frac{1}{{1 + e^{f(x)} }} > 0
Επομένως η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1 – 1, συνεπώς αντιστρέφεται και ισχύει:
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (y)
Άρα έχουμε:
f(x) + e^{f(x)}  = x - 1
y + e^y  = f^{ - 1} (y) - 1
f^{ - 1} (y) = e^y  + y + 1
Όμως f^{ - 1} (0) = e^0  + 0 + 1 = 2 άρα f(2) = 0
Επομένως μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0 είναι η x = 2 και επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα η λύση αυτή είναι η μοναδική.

Γ. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f(2) = 0, τότε για x > 2 η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα είναι f(x) >0, άρα f(2009) > 0 και f(2008) > 0, οπότε το όριο γράφεται:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(2009) \cdot x^3 }}{{f(2008) \cdot x^2 }} = \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}( - \infty ) =  - \infty


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Απρ 16, 2009 9:13 pm

ωχ την πάτησα (ακόμα μια φορά ) θα την ξαναδώ


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθει το οριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Απρ 16, 2009 9:34 pm

και πάλι για το πρώτο ερώτημα αφού η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη το αντιμετώπισα με την βοήθεια του ορισμού και την χρήση της ατόπου απαγωγής.

Έστω ότι υπάρχουν x_1 ,x_2 πραγματικοί αριθμοί με x_1  < x_2 και f(x_1 ) \ge f(x_2 ) (1) τότε προκύπτει ότι e^{f(x_1 )}  \ge e^{f(x_2 )} (2)
Προσθέτοντας τις (1) και (2) έχουμε ότι:
f(x_1 ) + e^{f(x_1 )}  \ge f(x_2 ) + e^{f(x_2 )}
x_1  - 1 \ge x_2  - 1
x_1  \ge x_2
που είναι άτοπο άρα f(x_1 ) < f(x_2 ) άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Να βρεθει το οριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Πέμ Απρ 16, 2009 9:36 pm

Ακόμη μια λύση για την μονοτονία :

έστω a,b \in \mathbb{R} με a<b τότε a-1<b-1\Leftrightarrow f(a)+e^{f(a)}<f(b)+e^{f(b)}\Leftrightarrow g(f(a))<g(f(b)),(1)
όπου g(x)=x+e^{x} με x \in \mathbb{R}
είναι g^{\prime}(x)=e^{x}+1>0 ,άρα η g είναι γν. αύξουσα
άρα (1)\Leftrightarrow f(a)<f(b) ,και άρα f γνησίως αύξουσα


Γιάννης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης