Βρείτε την f

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Βρείτε την f

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τετ Νοέμ 10, 2010 9:33 am

Καλημέρα σε όλους.
Με ιδαίτερο ενδιαφέρον περιμένω να δω μια λύση (μέσα στα σχολικά πλαίσια) που θα δίνατε στο ακόλουθο θέμα:

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} η οποία είναι συνεχής στο μηδέν με f(0)=0 και τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε \displaystyle{x \in R} ότι: \displaystyle{g(2x) = g(x) + x}.
Να βρεθεί ο τύπος της f.
Ευχαριστώ
Θωμάς
Έχω μια λύση η οποία όμως ξεφεύγει λίγο από τα σχολικά όρια
τελευταία επεξεργασία από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς σε Τετ Νοέμ 10, 2010 11:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρείτε την f

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 10, 2010 10:00 am

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} η οποία είναι συνεχής στο μηδέν με g(0)=0 και τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε \displaystyle{x \in R} ότι: \displaystyle{g(2x) = g(x) + x}.
Να βρεθεί ο τύπος της f.
(f και g ίδιες, από τυπογραφικό). Τα κύρια βήματα:

Από την δοθείσα έχουμε g(x) = g(x/2) + x/2 = g(x/4) + x/4 + x/2 = g(x/8) + x/8 + x/4 + x/2 = ... κλπ

To óριο του δεξιού μέλους είναι g(0) + x( 1/2 + 1/4 + 1/8+ ...) = 0 + x οπότε g(x) = x, που επαληθεύει την αρχική.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε την f

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τετ Νοέμ 10, 2010 11:03 am

Καλημέρα Μιχάλη.
Και η λύση που έχω είναι παρόμοια, αλλά δεν είναι και τόσο σχολική.

\displaystyle{f(2x) = f(x) + x \Leftrightarrow f(2x) - 2x = f(x) - x} και θέτοντας: \displaystyle{g(x) = f(x) - x} και έχοντας f(0)=0 έχουμε τελικά
\displaystyle{g(2x) = g(x) = g\left( {\frac{x}{2}} \right) = ... = g\left( {\frac{x}{{{2^\nu }}}} \right)}, οπότε περνώντας στα όρια για \displaystyle{\nu  \to  + \infty } έχουμε \displaystyle{g(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = x}.

Σε ευχαριστώ
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης