ΣYNEXEIA

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

ΣYNEXEIA

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Δευ Νοέμ 15, 2010 11:15 pm

Έστω συνάρτηση\displaystyle{f:R \to R}συνεχής
τέτοια ώστε:

f(0) = f(3) = 0} και f(2x) > f(2x + 2)
για κάθε\displaystyle{x \in R}

Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο \displaystyle{\nu  > 3}
ισχύει:\displaystyle{f(\nu ) < 0}

Έγινε διόρθωση.
Ευχαριστώ


Γιώργος Τσικαλουδάκης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΣYNEXEIA

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 15, 2010 11:54 pm

G.Tsikaloudakis έγραψε:Έστω συνάρτηση\displaystyle{f:R \to R}συνεχής
τέτοια ώστε:

f(0) = f(3) = 0} και f(2x) > f(2x + 2)
για κάθε\displaystyle{x \in R}

Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο \displaystyle{\nu  > 3}
ισχύει:\displaystyle{f(\nu ) < 0}

Έγινε διόρθωση.
Ευχαριστώ
Η συνέχεια της f είναι περιττή.

Οι υποθέσεις f(0) = f(3) = 0 και f(2x) > f(2x + 2) (*) για κάθε\displaystyle{x \in R}

είναι αρκετές για να μας δώσουν το συμπέρασμα με επαγωγή.

Πράγματι, με x=0 στη (*) παίρνουμε f(2)<f(0)=0 και επαγωγικά

f(2n)<f(2n-2)\leq 0 για κάθε n\geq 1.

Ομοίως, με x=3/2 στη (*) παίρνουμε f(5)<f(3)=0 και επαγωγικά

f(2n+1)=f(2\cdot \frac{2n-1}{2}+2)<f(2n-1)\leq 0 για κάθε n\geq 2.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης