Oριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Oριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Νοέμ 28, 2010 12:26 pm

Αν f(α)=5cosa-\sqrt{7}sina, a\in(-π/4,π/4), να βρεθεί το

\lim_{x\rightarrow +\infty}[\frac{f(a)}{8}]^x


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Oριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 28, 2010 1:19 pm

erxmer έγραψε:Αν f(α)=5cosa-\sqrt{7}sina, a\in(-π/4,π/4), να βρεθεί το

\lim_{x\rightarrow +\infty}[\frac{f(a)}{8}]^x

Είναι \frac {|5 \cos a-\sqrt{7}\sin a|}{8} \le \frac {5 +\sqrt{7}}{8}\le \frac {5 +2,7}{8} < 1,

οπότε το ζητούμενο όριο τείνει στο 0 (χρήση του \lim_{x\rightarrow \infty} c^x = 0 για 0<c<1).

Φιλικά,

Μιχάλης


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Oριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Νοέμ 28, 2010 2:54 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
erxmer έγραψε:Αν f(α)=5cosa-\sqrt{7}sina, a\in(-π/4,π/4), να βρεθεί το
\lim_{x\rightarrow +\infty}[\frac{f(a)}{8}]^x
Είναι \frac {|5 \cos a-\sqrt{7}\sin a|}{8} \le \frac {5 +\sqrt{7}}{8}\le \frac {5 +2,7}{8} < 1,
οπότε το ζητούμενο όριο τείνει στο 0 (χρήση του \lim_{x\rightarrow \infty} c^x = 0 για 0<c<1).
Φιλικά,
Μιχάλης
Πολύ ωραία η άσκηση όπως και η λύση της.

Ενδιαφέρον έχει και η περίπτωση που αλλάξουμε το 8 με το 7. (Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις το όριο είναι πάλι μηδέν)

Αν f\left( \alpha  \right) = 5\sigma \upsilon \nu \alpha  - \sqrt 7 \eta \mu \alpha ,\,\,\,\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right), να βρεθεί το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left[ {\frac{{f(\alpha )}}{7}} \right]^x}}
Μίλτος


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Oριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Κυρ Νοέμ 28, 2010 3:20 pm

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Ενδιαφέρον έχει και η περίπτωση που αλλάξουμε το 8 με το 7
Και με το 6. Και γενικά με το \sqrt{c} με c > 32.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Oριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 28, 2010 3:21 pm

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Ενδιαφέρον έχει και η περίπτωση που αλλάξουμε το 8 με το 7. (Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις το όριο είναι πάλι μηδέν)

Αν f\left( \alpha  \right) = 5\sigma \upsilon \nu \alpha  - \sqrt 7 \eta \mu \alpha ,\,\,\,\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right), να βρεθεί το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left[ {\frac{{f(\alpha )}}{7}} \right]^x}}
Σωστά.

Στο παρονομαστή μπορείς να βάλεις ακόμα μικρότερο αριθμό. Μέχρι τον \sqrt{32} \approx 5,6568 κατεβαίνουμε. Οτιδήποτε πάνω από αυτόν δίνει, πάλι, όριο 0 διότι

\displaystyle{5\cos a - \sqrt 7 \sin a = \sqrt{32}\left ( \frac {5}{\sqrt{32}}\cos a - \frac {\sqrt 7} {\sqrt{32}}\sin a \right) = \sqrt{32}\left ( \cos A\cos a - \sin A\sin a \right) = \sqrt{32}\cos (A+a) \le \sqrt{32}}.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: με πρόλαβε ο γείτονας Αντώνης.
Ίντα κάνεις σύντεκνε.


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Oριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Νοέμ 28, 2010 3:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
\displaystyle{5\cos a - \sqrt 7 \sin a = \sqrt{32}\left ( \frac {5}{\sqrt{32}}\cos a - \frac {\sqrt 7} {\sqrt{32}}\sin a \right) = \sqrt{32}\left ( \cos A\cos a - \sin A\sin a \right) = \sqrt{32}\cos (A+a) \le \sqrt{32}}.
Φιλικά,
Μιχάλης

Στη λύση που έκανα θεώρησα τα διανύσματα \overrightarrow \alpha   = \left( {5, - \sqrt 7 } \right) και \overrightarrow \beta   = \left( {\sigma \upsilon \nu \alpha ,\eta \mu \alpha } \right) και χρησιμοποίησα ότι \left| {\overrightarrow \alpha   \cdot \overrightarrow \beta  } \right| \le \left| {\overrightarrow \alpha  } \right| \cdot \left| {\overrightarrow \beta  } \right| κλπ, προτιμώ όμως τη λύση του Μιχάλη.


Μίλτος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης