Πολυώνυμο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Νοέμ 28, 2010 9:39 pm

Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε το πολυώνυμό x^6-6x^5 + 12x^4 + ax^3 + 12x^2-6x + 1 να είναι μη αρνητικό για όλα τα χ.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Νοέμ 29, 2010 12:42 am

p(x)=x^6-6x^5+12x^4+ax^3+12x^2-6x+1=...
=x^3[ (x+\frac {1}{x})^3-6(x+\frac {1}{x})^2+9(x+\frac {1}{x})+a+12], x\neq0
Επειδή p(0)=1>0 μας ενδιαφέρουν τα x \neq 0
Άρα \forall x>0 :p(x)>0 \Leftrightarrow (x+\frac {1}{x})^3-6(x+\frac {1}{x})^2+9(x+\frac {1}{x})+a+12>0 και
\forall x<0: p(x)<0 \Leftrightarrow (x+\frac {1}{x})^3-6(x+\frac {1}{x})^2+9(x+\frac {1}{x})+a+12<0
Επιπλέον x>0 \Leftrightarrow x+\frac {1}{x} \geq 2 και
x<0 \Leftrightarrow x+\frac {1}{x} \leq -2
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(t)=t^3-6t^2+9t+a+12, t\geq2, θα παρατηρήσουμε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο 3 το a+12 συνεπώς
p(x)\geq 0, \forall x>0 \Leftrightarrow a\geq -12 (1)
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(t)=t^3-6t^2+9t+a+12, t\leq -2, θα παρατηρήσουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο στο -2 το a-38 συνεπώς
p(x)\leq 0, \forall x>0 \Leftrightarrow a\leq 38 (2)
(1) & (2) \Rightarrow -12 \leq a \leq 38
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις, ώρα που είναι
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης