Όμορφη ύπαρξη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Όμορφη ύπαρξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Νοέμ 29, 2010 10:25 am

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει f(f(x))=x για κάθε x \in \mathbb{R},
να δείξετε ότι υπάρχει \xi τέτοιος ώστε f(\xi)=\xi.
Η επανάληψη των μαθηματικών της 1ης Δέσμης - Γιώργος Μπαγάνης


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Όμορφη ύπαρξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Δευ Νοέμ 29, 2010 5:49 pm

Έστω ότι δεν υπάρχει ο ζητούμενος ξ στο R
τότε η g(x)=f(x)-x δεν έχει ρίζες στο R και είναι συνεχής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R επομένως είναι g(x)>0 για κάθε x στο R (1) ή
g(x)<0 για κάθε x στο R (2)
και (εύκολα )f «1-1» στο R οπότε υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f
στην f(f(x))=x ,θέτω όπου χ το f^{-1}(x), οπότε
f(x)=f^{-1}(x) για κάθε πραγματικό αριθμό χ
Αν ισχύει η (1) τότε f(x)>x , θέτω όπου χ το f^{-1}(x),οπότε x>f^{-1}(x)\Rightarrow x>f(x)
'ατοπο (όμοια αν ισχύει η (2) προκύπτει άτοπο)
Τελικά υπάρχει ξ στο R ώστε f(ξ)=ξ


Υ.Γ. η εξίσωση ψ=f(x) έχει λύση ώς προς χ για κάθε πραγματικό αριθμό ψ την χ=f(ψ)


Γ. Μανεάδης
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη ύπαρξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τρί Νοέμ 30, 2010 12:13 am

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει f(f(x))=x για κάθε x \in \mathbb{R},
να δείξετε ότι υπάρχει \xi τέτοιος ώστε f(\xi)=\xi.
Λύση
Αν f\left( 0 \right) = 0 τότε \xi  = 0
Αν f\left( 0 \right) \ne 0 (υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι f\left( 0 \right) > 0) τότε στο διάστημα \left[ {0,f(0)} \right] η συνάρτηση h\left( x \right) = f\left( x \right) - x είναι συνεχής με h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) > 0 και h\left( {f(0)} \right) = f\left( {f\left( 0 \right)} \right) - f\left( 0 \right) =  - f\left( 0 \right) < 0 επομένως σύμφωνα με θ Bolzano υπάρχει \xi  \in \left( {0,f(0)} \right) ώστε h\left( \xi  \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi  \right) = \xi
Μίλτος


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη ύπαρξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Νοέμ 30, 2010 12:46 am

Δείχνουμε ότι η f είναι 1-1.
Αν f(x1) = f(x2), τότε f(f(x1) = f(f(x2) δηλαδή x 1 = x2.

Τώρα, αφού η συνάρτηση είναι 1-1 και συνεχής στο R, θα είναι γνησίως μονότονη.

Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Αν δεν υπάρχει κάποιο ξ ώστε να ισχύει f(ξ) = ξ, τότε θα έχουμε f(ξ) > ξ ή f(ξ) < ξ.

Έστω ότι ισχύει το πρώτο. Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει και f(f(ξ)) > f(ξ) ή ξ > f(ξ), άτοπο.
Σε άτοπο καταλήγουμε και στην αντίθετη περίπτωση.
Με όμοιο τρόπο εργαζόμαστε και αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη ύπαρξη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Νοέμ 30, 2010 10:09 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας. :clap2:

Μία ακόμη παραλλαγή των παραπάνω λύσεων.

Έστω g(x)=f(x)-x,x \in \mathbb{R}.
*Αν f(0)=0, τότε το ζητούμενο \xi είναι το μηδέν.

*Αν f(0)=a \neq 0, χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε a>0.
Τότε: f(a)=f(f(0))=0, αφού f(f(x))=x.

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [0,a] ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων f (υπόθεση) και x (πολυωνυμική),
με g(a)=f(a)-a=-a<0, g(0)=f(0)-0=a, δηλαδή, g(a) \neq g(0) και \eta = 0 \in (g(a),g(0)),
οπότε από το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών υπάρχει \xi \in (0,a) τέτοιο ώστε g(\xi)=\eta=0 \Leftrightarrow f(\xi)=\xi.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη ύπαρξη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Δεκ 01, 2010 12:19 am

Ο αγαπητός Γιώργος Μανεάδης παρατήρησε ένα "κενό" στην απόδειξη μου, στο ισχυρισμό μου ότι καταλήγουμε σε άτοπο και τον ευχαριστώ γι' αυτό.
Συγκεκριμένα είδε ότι:

"Αν f(ξ)>ξ και f γνησίως φθίνουσα τότε f(f(ξ))<f(ξ) δηλαδή ξ<f(ξ). Που δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι είναι άτοπο!!!"

Πρέπει λοιπόν να "καλυφθεί" αυτό το λογικό κενό.

Είμαστε στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και για κάθε ξ έχουμε f(ξ) > ξ. (1)

Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο R και το σύνολο τιμών είναι το R, σε κάθε ξ θα αντιστοιχεί ένα και μόνο f(a).
Έτσι, θα έχουμε f(f(a)) > f(a) ή a > f(a). Αντίφαση με την σχέση (1).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη ύπαρξη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Απρ 16, 2012 2:06 pm

Αξίζει να αναφερθεί πως η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με ποιο χαλαρά δεδομένα ως εξής
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Έστω f:\mathbb{R}  \to \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση . Αν η εξίσωση \left( {fof} \right)(x) = x έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα ,
να δείξετε ότι και η εξίσωση f(x) = x έχει επίσης μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα .
Σχετικά εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης