Συνάρτηση σε ημίτονο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Συνάρτηση σε ημίτονο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τετ Δεκ 01, 2010 10:39 pm

Θεωρούμε συνάρτηση f, ορισμένη σε μία περιοχή του μηδενός, η οποία επαληθεύει την ισότητα 3f(x)=2x+\sin f(x).
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συνάρτηση σε ημίτονο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 01, 2010 10:51 pm

Καταρχάς, θέτοντας στη δοθείσα \displaystyle{x=0} έχουμε (με \displaystyle{t=f(0)})

\displaystyle{3t=\sin t} άρα \displaystyle{\left|3t \right|=\left|\sin t \right|\leq \left|t \right|}, οπότε \displaystyle{t=0} και αυτή ικανοποιεί την αρχική εξίσωση. Άρα \displaystyle{f(0)=0.}

Επίσης, από την αρχική σχέση έχουμε

\displaystyle{\left|3f(x) \right|=\left|2x+\sin f(x) \right|\leq 2\left|x \right|+\left|\sin f(x) \right|\leq2\left|x \right|+\left|f(x) \right|.}

Άρα

\displaystyle{\left|f(x) \right|\leq \left|x \right|.}

Από το κριτήριο παρεμβολής, προκύπτει ότι υπάρχει το όριο της \displaystyle{f} στο \displaystyle{0} και ισούται με \displaystyle{0=f(0)}.

Ο ισχυρισμός έπεται.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση σε ημίτονο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 01, 2010 10:59 pm

stranton έγραψε:Θεωρούμε συνάρτηση f, ορισμένη σε μία περιοχή του μηδενός, η οποία επαληθεύει την ισότητα 3f(x)=2x+\sin f(x).
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

Από |\sin t| \le |t| έχουμε |3f(x)|=|2x+\sin f(x)| \le 2|x| + |\sin f(x)| \le  2|x| + |f(x)|. Άρα
2|f(x)| \le 2|x|, που στην μορφή -|x| \le f(x) \le |x| εύκολα βλέπουμε ότι f(0) = 0 και επίσης, παίρνοντας όρια, καταλήγουμε
στο ζητούμενο \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 = f(0).

Φιλικά,

Μιχάλης


Ουπσ, με πρόλαβε ο Θάνος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης