Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Δεκ 08, 2010 2:02 pm

Μια προτεινόμενη άσκηση από τον αγαπητό συνάδελφο Ζανταρίδη Νίκο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}} τέτοια ώστε:

\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο \displaystyle{{\cal R}}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 08, 2010 5:22 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μια προτεινόμενη άσκηση από τον αγαπητό συνάδελφο Ζανταρίδη Νίκο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}} τέτοια ώστε:

\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο \displaystyle{{\cal R}}

Ενδιαφέρον.

Ορίζουμε F(0)=0 και για τυχαίο a θετικό ορίζουμε F(a) το μέγιστο της f στο [0, a] (για a αρνητικό εργαζόμαστε όμοια). Παρατηρούμε ότι η F είναι συνεχής στο 0 (διότι η f πιάνει τα μέγιστά της στα κλειστά διαστήματα, οπότε για κάποιο x_a με 0 \le x_a \le a έχουμε F(a) = f(x_a). Έτσι αν a τείνει στο 0, τότε και x_a τείνει στο 0, οπότε το \lim_0 F(a) = \lim_0 f(x_a)=f(0) = F(0) ).

Επίσης παρατηρούμε ότι, προφανώς, η F είναι αύξουσα στο [0, \infty). Άρα, από την δοθείσα έχουμε για κάθε x \in [0,a] ότι

\displaystyle {f(x) = \frac{1}{99}\left ( f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right) \right) \le\frac{1}{99}\left ( F\left( {\frac{a}{2}} \right) + F\left( {\frac{a}{3}} \right) + ... + F\left( {\frac{a}{{100}}} \right) \right) \le \frac{99}{99}\left  F\left( {\frac{a}{2}}\right) =F\left( {\frac{a}{2}}\right)

Συνεπώς, από τον ορισμό της, είναι F(a) \le F(a/2). Η σχέση αυτή αναδρομικά δίνει

f(0) \le F(a) \le F(a/2) \le F(a/2^2) \le .... Παίρνοντας όρια, f(0) \le F(a) \le f(0) που σημαίνει ότι έχουμε ισότητα παντού. Με τη σειρά του αυτό δείχνει ότι η f δεν αλλάζει την τιμή της στο [0, a], όπως θέλαμε, αφού a τυχαίο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Πέμ Δεκ 09, 2010 11:34 am

Προτεινόμενη λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη.


Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R \to R
τέτοια ώστε:
99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)\quad (1)

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R


Λύση:
Έστω τυχαίος \alpha  > 0. Επειδή η f είναι συνεχής στο \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]
παρουσιάζει στο διάστημα αυτό μια ελάχιστη τιμή \mu και μια μέγιστη τιμή {\rm M}.
Έστω {x_0} \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right] η θέση του μεγίστου της f, τότε θα είναι f\left( {{x_0}} \right) = {\rm M} και επειδή:
\frac{{{x_0}}}{2},\frac{{{x_0}}}{3},...,\frac{{{x_0}}}{{100}} \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]
θα ισχύει:
f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) \le {\rm M},f\left( {\frac{{{x_0}}}{3}} \right) \le {\rm M},...,f\left( {\frac{{{x_0}}}{{100}}} \right) \le {\rm M}
Υποθέτω ότι: f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) < {\rm M} τότε από την (1) για x = {x_0}
έχουμε:
\begin{array}{l} 
 99f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) + f\left( {\frac{{{x_0}}}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{{{x_0}}}{{100}}} \right) \Rightarrow  \\  
 99{\rm M} < {\rm M} + {\rm M} + ... + {\rm M} \Rightarrow 99{\rm M} < 99{\rm M} \\  
 \end{array}
που είναι άτοπο.
Άρα:
f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) = {\rm M}

Έτσι αν f\left( {{x_0}} \right) = {\rm M} τότε και f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) = {\rm M} και αναδρομικά θα έχουμε:
f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^2}}}} \right) = {\rm M},f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^3}}}} \right) = {\rm M},...,f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right) = {\rm M},...
δηλαδή για κάθε \nu  \in {{\rm N}^*} ισχύει:
{\rm M} = f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right)
οπότε:
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } {\rm M} = \mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right)}
και επειδή η f είναι συνεχής έχουμε:
{\rm M} = f\left( 0 \right)

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } f\left( {\frac{{{x_0}}} 
{{{2^\nu }}}} \right)\mathop  = \limits^{\omega  = \frac{{{x_0}}} 
{{{2^\nu }}}} \mathop {\lim }\limits_{\omega  \to 0} f\left( \omega  \right) = f\left( 0 \right)}


Ομοίως αποδείκνυεται ότι \mu  = f(0)
δηλαδή \mu  = {\rm M} = f\left( 0 \right) οπότε f\left( x \right) = f\left( 0 \right) για κάθε x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right] και για οποιοδήποτε \alpha  > 0. Επομένως:
f\left( x \right) = f\left( 0 \right),\forall x \in R
δηλαδή η f είναι σταθερή στο R


Αντικατάσταση συνημμένου με κώδικα \LaTeX
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Πέμ Δεκ 09, 2010 11:57 am, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
Λόγος: Αντικατάσταση συνημμένου με κώδικα LaTeX


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Πέμ Δεκ 09, 2010 11:53 am

κ.Νίκο πολύ ωραία άσκηση... :clap2:

Με εκτίμηση


Στραγάλης Χρήστος
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Πέμ Δεκ 09, 2010 9:55 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για την κατανόηση σας στη δυσκολία που έχω να στείλω το μήνυμα με γραφή Latex και τη μετατροπή που εσείς οι ίδιοι κάνατε.
Ευελπιστώ σύντομα να μάθω να χειρίζομαι τη γραφή αυτη.
Με εκτίμηση
Νίκος Ζανταρίδης


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Δεκ 09, 2010 11:52 pm

Πολύ εύκολα η άσκηση γενικεύεται που το διαπιστώσαμε από την πρώτη στιγμή με τον Νίκο, δηλ.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}} τέτοια ώστε: \displaystyle{\nu f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{v + 1}}} \right),\,\,\,v \in N\,\left( {v > 1} \right)}

να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης