Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδέν

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδέν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Δεκ 17, 2010 4:36 pm

Μια κλασική άσκηση στα όρια που δεν την έχω δει εδώ μέσα,

Δίνονται συναρτήσεις, \displaystyle{f,g:R \to R} και α πραγματικός αριθμός, τέτοιες ώστε: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = 0} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right) = 0}

Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g\left( x \right) = 0}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Παρ Δεκ 17, 2010 5:17 pm

Καλησπέρα φίλε (στεναχωρημένε) Μάκη.

\displaystyle{{f^2}(x) + {g^2}(x) = {\left( {f(x) + g(x)} \right)^2} - 2f(x)g(x)}, επομένως \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {g^2}(x)} \right) = 0}.

\displaystyle{0 \le {f^2}(x) \le {f^2}(x) + {g^2}(x)}, συνεπώς \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} {f^2}(x) = 0}.
\displaystyle{ - \sqrt {{f^2}(x)}  =  - \left| {f(x)} \right| \le f(x) \le \left| {f(x)} \right| = \sqrt {{f^2}(x)} }, επομένως \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = 0}.

Όμοια και \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = 0}.

Με τα περαστικά μου και με συμπόνια,

Θωμάς
Πάω για μάθημα, τα λέμε το βράδυ.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Δεκ 17, 2010 6:20 pm

Όπως τα λες είναι Θωμά!

Πολύ καλή λύση, αναμένω αν υπάρχει και κάποια άλλη. Νομίζω ότι με το εξτρά ερώτημα

\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {g^2}(x)} \right) = 0}.

γίνεται μια καλή άσκηση, τι λες; Τι βάζουμε στο σχολείο ή θα μας κυνηγάνε; (Ετοιμάζομαι για διαγώνισμα στο κεφάλαιο 1 ανάλυσης)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Σάβ Δεκ 18, 2010 12:48 am

Στην λύση αυτή υπάρχει λάθος;

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k + l 
} όπου \displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \\  
 l = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) \\  
 \end{array} 
} και
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) \cdot g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \cdot \mat{\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k \cdot l 
}
άρα
\displaystyle{ 
k + l = 0 
} και \displaystyle{ 
k \cdot l = 0 
} οπότε
\displaystyle{ 
k = 0,l = 0 
}
δηλαδη
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = 0 
}


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Δεκ 18, 2010 12:51 am

ZITAVITA έγραψε:Στην λύση αυτή υπάρχει λάθος;

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k + l 
} όπου \displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \\  
 l = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) \\  
 \end{array} 
} και
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) \cdot g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \cdot \mat{\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k \cdot l 
}
άρα
\displaystyle{ 
k + l = 0 
} και \displaystyle{ 
k \cdot l = 0 
} οπότε
\displaystyle{ 
k = 0,l = 0 
}
δηλαδη
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = 0 
}
Που ξέρεις ότι υπάρχουν τα όρια της f, g στο χ=α;;
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Σάβ Δεκ 18, 2010 12:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 18, 2010 12:54 am

ZITAVITA έγραψε:Στην λύση αυτή υπάρχει λάθος;

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k + l 
} όπου \displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \\  
 l = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) \\  
 \end{array} 
} και
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (f(x) \cdot g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) \cdot \mat{\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = k \cdot l 
}
άρα
\displaystyle{ 
k + l = 0 
} και \displaystyle{ 
k \cdot l = 0 
} οπότε
\displaystyle{ 
k = 0,l = 0 
}
δηλαδη
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = 0 
}
Ναι υπάρχει λάθος! Δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι τα όρια \lim_{x \to \alpha} f(x) και \lim_{x \to \alpha} g(x) υπάρχουν.


Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:13 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Όπως τα λες είναι Θωμά!

Πολύ καλή λύση, αναμένω αν υπάρχει και κάποια άλλη. Νομίζω ότι με το εξτρά ερώτημα

\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {g^2}(x)} \right) = 0}.

γίνεται μια καλή άσκηση, τι λες; Τι βάζουμε στο σχολείο ή θα μας κυνηγάνε; (Ετοιμάζομαι για διαγώνισμα στο κεφάλαιο 1 ανάλυσης)
Μάκη, περαστικά.

Όσον αφορά το αν το βάζεις το θέμα σε διαγώνισμα ή όχι στη τάξη, η άποψή μου είναι Όχι.
Τι θα εξετάσεις με την άσκηση αυτή;
Το κριτήριο παρεμβολής; Υπάρχουν τόσα άλλα θέματα για να δεις αν οι μαθητές σου το κατανόησαν.
Τι διεισδυτικότητά τους στην Ανάλυση;
Ε! όχι με αυτή την άσκηση, όταν υπάρχουν τόσα άλλα θέματα πολύ ποιο ουσιαστικά.

Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:26 am

Εσένα δεν μπορώ να σου πω περαστικά γιατί στα έχω πει πρόσφατα και το καλοκαίρι!!

Όσο για την άσκηση θέλω να τσεκάρω αν σπάνε τα όρια χωρίς να το εξετάσουν... Αν βρίσκουν τεχνικές για να ξεφεύγουν από αυτό τον σκόπελο, που μπαίνει και πως δημιουργείς κριτήριο παρεμβολής και το κυριότερο να ξεφύγουμε από τις καθιερωμένες ασκήσεις. Βαρέθηκα τους μηχανικούς τρόπους επίλυσης μιας άσκησης, ψάχνω γιατί πιο ουσιαστικό, απλό που να φαίνεται και το ανάστημα του μαθητή.

Να ξεφύγουμε επιτέλους από τις ασκήσεις των φροντιστηρίων !!

Αλήθεια αυτή την άσκηση την διδάσκετε;

Μακ


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:38 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εσένα δεν μπορώ να σου πω περαστικά γιατί στα έχω πει πρόσφατα και το καλοκαίρι!!

Όσο για την άσκηση θέλω να τσεκάρω αν σπάνε τα όρια χωρίς να το εξετάσουν... Αν βρίσκουν τεχνικές για να ξεφεύγουν από αυτό τον σκόπελο, που μπαίνει και πως δημιουργείς κριτήριο παρεμβολής και το κυριότερο να ξεφύγουμε από τις καθιερωμένες ασκήσεις. Βαρέθηκα τους μηχανικούς τρόπους επίλυσης μιας άσκησης, ψάχνω γιατί πιο ουσιαστικό, απλό που να φαίνεται και το ανάστημα του μαθητή.

Να ξεφύγουμε επιτέλους από τις ασκήσεις των φροντιστηρίων !!

Αλήθεια αυτή την άσκηση την διδάσκετε;

Μακ
Απορία: Το Μακ είναι από το Big Mac;

Η αφεντιά μου διδάσκει όλες αυτές τις ασκήσεις που το κριτήριο παρεμβολής δεν φαίνεται από ανισωτική σχέση, αλλά το φράξιμο πρέπει να το κάνει ο μαθητής, αλλά μόνο σε τμήματα πολύ καλών μαθητών γιατί για τους άλλους δεν έχει νόημα, όταν η αγωνία τους είναι να κατανοήσουν αυτό καθ' αυτό το κριτήριο.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:44 am

Το big το χρησιμοποιώ όταν μιλάω μαζί σου!!

Λοιπόν δεν απάντησες, την διδάσκετε στο φροντιστήριο; Όσο για τις ασκήσεις που δεν φαίνεται το φράξιμο σίγουρα υπάρχει θέμα, αλλά νομίζω οι απλές εκφωνήσεις, που βλέπεις ότι είναι προφανές το συμπέρασμα είναι αυτές που τσαντίζουν τον μαθητή!!

Παρόλα ταύτα θα μείνουμε στην πείρα σου και με αυτό ολοκληρώνουμε τον γόνιμο διάλογο μας, που κυρίως έγινε για τις ομάδες και όχι για την άσκηση τελικά!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:49 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Το big το χρησιμοποιώ όταν μιλάω μαζί σου!!

Λοιπόν δεν απάντησες, την διδάσκετε στο φροντιστήριο; Όσο για τις ασκήσεις που δεν φαίνεται το φράξιμο σίγουρα υπάρχει θέμα, αλλά νομίζω οι απλές εκφωνήσεις, που βλέπεις ότι είναι προφανές το συμπέρασμα είναι αυτές που τσαντίζουν τον μαθητή!!

Παρόλα ταύτα θα μείνουμε στην πείρα σου και με αυτό ολοκληρώνουμε τον γόνιμο διάλογο μας, που κυρίως έγινε για τις ομάδες και όχι για την άσκηση τελικά!
Απορία
To Big αναφέρεται σε ηλικία;

Σου απάντησα, ότι τις διδάσκω αλλά επιλεκτικά και αυτό διότι έχω τη δυνατότητα να διδάσκω και σε τμήματα εξαιρετικών υποψηφίων.

Θωμάς
Υ.Γ
Απάντησε γρήγορα γιατί πάω για ύπνο.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Δεκ 18, 2010 2:02 am

Το big πάει στην μεγαλοσύνη σου!!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11557
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:02 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μια κλασική άσκηση στα όρια που δεν την έχω δει εδώ μέσα,

Δίνονται συναρτήσεις, \displaystyle{f,g:R \to R} και α πραγματικός αριθμός, τέτοιες ώστε: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = 0} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right) = 0}

Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g\left( x \right) = 0}
Αλλιώς:

\displaystyle{f(x) \le |f(x)| \le \frac{1}{2}|f(x)+g(x)| + \frac{1}{2}|f(x)-g(x)|} καί όμοια \displaystyle{f(x) \ge -\frac{1}{2}|f(x)+g(x)| - \frac{1}{2}|f(x)-g(x)|}

Τώρα, οι δύο παραστάσεις εκατέρωθεν της f τείνουν και οι δύο στο 0 καθώς

\displaystyle{\frac{1}{2}|f(x)+g(x)|+ \frac{1}{2}|f(x)-g(x)|= \frac{1}{2}|f(x)+g(x)| + \frac{1}{2}\sqrt{(f(x)+g(x))^2-4f(x)g(x)} \rightarrow\frac{1}{2}|0| + \frac{1}{2}\sqrt{(0)^2-4\cdot 0}=0},

οπότε από παρεμβολή, ισχύει το ίδιο και για την f. Όμοια για την g (ή αλλιώς: g(x) = (f(x)+g(x))-f(x) \rightarrow 0)

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια συναρτήσεων αθροίσματος και γινομένου ίσο με το μηδ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Δεκ 18, 2010 1:58 pm

Μιχάλη πολύ καλό, το κρατάμε και αυτό!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες