απορία σε άσκηση συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

mixalis_i
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Παρ Δεκ 17, 2010 9:58 am

απορία σε άσκηση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixalis_i » Σάβ Δεκ 18, 2010 2:20 pm

Καλημέρα σας,
είμαι νέος στο forum και καταρχήν ήθελα να δώσω συγχαρητήρια σε όσους το έχουν φτιάξει! Δεν είμαι σίγουρος αν λύνω σωστά μια άσκηση συναρτήσεων και θα ήθελα μια υπόδειξη αν γίνεται:

Έστω η συνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε: 2f^{3}(x)+3f(x)=x+5, για κάθε x που ανήκει στο R.
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f^{-1}(x).
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την ανίσωση f(3x)<x.

Για το πρώτο έδειξα ότι η f είναι 1 - 1 από τον τύπο που μου δίνει. Ξεκίνησα δηλαδή από τον ορισμό f(x_{1})=f(x_{2}) και συνθετικά κατέληξα x_{1}=x_{2}. Μετά έθεσα όπου f(x) στον τύπο y και βρήκα ότι η αντίστροφη είναι: f^{-1}(x)=2x^{3}+3x-5.

Για το δεύτερο είπα ότι έστω η αντίστροφη είναι φθίνουσα δηλαδή ισχύει: x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2}) και κατέληξα σε άτοπο. Τώρα για την ανίσωση (που κόλλησα), σύνθεσα τη δοσμένη ανίσωση με f^{-1} (γίνεται αυτο;) και αφού έβγαλα ότι είναι γνησίως αύξουσα τότε:

f^{-1}\left(f(3x) \right)<f^{-1}(x)\Rightarrow 3x<f^{-1}(x)\Rightarrow 3x<2x^{3}+3x-5\Rightarrow 2x^{3}-5>0. Τώρα;; Μπορώ να πω:

x^{3}>\frac{5}{2}\Rightarrow \sqrt[3]{x^{3}}>\sqrt[3]{\frac{5}{2}}? Νομίζω όχι..Πρέπει να ξέρω ότι το x είναι θετικό..έτσι δεν είναι; Γενικώς η σκέψη σε όλη την άσκηση είναι σωστή; Ευχαριστώ πολύ που διαβάσατε το μήνυμά μου!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: απορία σε άσκηση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 18, 2010 3:27 pm

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.
mixalis_i έγραψε: Για το δεύτερο είπα ότι έστω η αντίστροφη είναι φθίνουσα δηλαδή ισχύει: x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2}) και κατέληξα σε άτοπο.
Σωστά. Άλλος τρόπος: Αφού έδειξες ότι f^{-1}(x)=2x^{3}+3x-5, είναι τώρα άμεσο ότι η f^{-1} είναι γνήσια αύξουσα (ως άθροισμα των γνήσια αυξουσών 2x^{3} και 3x-5.
mixalis_i έγραψε: Τώρα για την ανίσωση (που κόλλησα), σύνθεσα τη δοσμένη ανίσωση με f^{-1} (γίνεται αυτο;) και αφού έβγαλα ότι είναι γνησίως αύξουσα τότε:

f^{-1}\left(f(3x) \right)<f^{-1}(x)\Rightarrow 3x<f^{-1}(x)\Rightarrow 3x<2x^{3}+3x-5\Rightarrow 2x^{3}-5>0.
Βεβαίως γίνεται, ακριβώς επειδή η f^{-1} είναι γνήσια αύξουσα. Με έλλα λόγια χρησιμοποείς την ιδιότητα

a < b \Leftrightarrow f^{-1}(a) < f^{-1}(b). Προσοχή μόνο στο ότι πρέπει να αντικαταστήσεις όλα σου τα "\Rightarrow" με "\Leftrightarrow" (αλλιώς ενδεχομένως να χάσεις λύσεις).
mixalis_i έγραψε: Τώρα;; Μπορώ να πω:

x^{3}>\frac{5}{2}\Rightarrow \sqrt[3]{x^{3}}>\sqrt[3]{\frac{5}{2}}? Νομίζω όχι..Πρέπει να ξέρω ότι το x είναι θετικό..έτσι δεν είναι; Γενικώς η σκέψη σε όλη την άσκηση είναι σωστή;
Δεν χρειάζεται να πάρεις κυβική ρίζα του x^3 , ώστε να έχεις να εξετάσεις περιπτώσεις για x θετικό ή όχι. Μπορείς να πεις απευθείας: Αφού η x^3 είναι γνήσια αύξουσα έχουμε x^3 > \frac{5}{2} = \left( \sqrt[3]{\frac{5}{2}}\right)^3 \Leftrightarrow x> \sqrt[3]{\frac{5}{2}}.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης


mixalis_i
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Παρ Δεκ 17, 2010 9:58 am

Re: απορία σε άσκηση συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixalis_i » Σάβ Δεκ 18, 2010 5:15 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια κ.Λάμπρου. Είσαστε σαφέστατος!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης