2 Πονηρούλα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

2 Πονηρούλα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Δευ Δεκ 20, 2010 12:46 pm

Καλημέρα.
Και αυτή η άσκηση για το διαγώνισμα του Μάκη.

Έστω η συνεχής και αύξουσα συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R} για την οποία ισχύει \displaystyle{f(x) > 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]}.
Αν υπάρχουν \displaystyle{{x_1},{x_2},{x_3},{x_4} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)} με \displaystyle{{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}} ώστε \displaystyle{{f^3}\left( {{x_4}} \right) = f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) \cdot f\left( {{x_3}} \right)}, να δειχθεί ότι η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο \displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]}.

Θωμάς
τελευταία επεξεργασία από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς σε Δευ Δεκ 20, 2010 2:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Δεκ 20, 2010 12:59 pm

Θeωρείστε την ln(f(x))...


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: 2 Πονηρούλα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Δεκ 20, 2010 1:52 pm

Θωμά νομίζω δεν χρειάζεται το δεδομένο ότι η f είναι αύξουσα. Μπορούμε να δώσουμε απόδειξη και χωρίς αυτό.
Εφαρμογή του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών σε κατάλληλο διάστημα
Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Δευ Δεκ 20, 2010 2:06 pm

hsiodos έγραψε:Θωμά νομίζω δεν χρειάζεται το δεδομένο ότι η f είναι αύξουσα. Μπορούμε να δώσουμε απόδειξη και χωρίς αυτό.
Εφαρμογή του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών σε κατάλληλο διάστημα
Γιώργος
Γιώργο καλημέρα.
Συμπλήρωσα στην άσκηση ότι \displaystyle{{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}} και νομίζω ότι τώρα χρειάζεται η μονοτονία.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: 2 Πονηρούλα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Δεκ 20, 2010 2:24 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα.
Και αυτή η άσκηση για το διαγώνισμα του Μάκη.

Έστω η συνεχής και αύξουσα συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R} για την οποία ισχύει \displaystyle{f(x) > 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]}.
Αν υπάρχουν \displaystyle{{x_1},{x_2},{x_3},{x_4} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)} με \displaystyle{{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}} ώστε \displaystyle{{f^3}\left( {{x_4}} \right) = f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) \cdot f\left( {{x_3}} \right)}, να δειχθεί ότι η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο \displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]}.

Θωμάς
Έχουμε από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ

\displaystyle{f(x_{4})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})}{3}}.

Όμως

\displaystyle{x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}} και \displaystyle{f} αύξουσα, οπότε \displaystyle{f(x_{1})\leq f(x_2})\leq f(x_{3})\leq f(x_{4})}, δηλαδή \displaystyle{f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})\leq 3f(x_{4}).}

δηλαδή ισχύει η ισότητα στην ΑΜ-ΓΜ, οπότε πρέπει να ισχύει

\displaystyle{f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})(=f(x_{4}))} και άρα η συνάρτηση δεν είναι 1-1.

* Δεν έγινε χρήση της συνέχειας.


Μάγκος Θάνος
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: 2 Πονηρούλα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Δεκ 20, 2010 2:49 pm

Δίνω μια λύση. Τα δεδομένα που χρειαζόμαστε είναι ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] με θετικές τιμές και ότι υπάρχουν \displaystyle{ 
\ x_1< x_2 < x_3 < x_4  \in [a,\beta ]} ώστε \displaystyle{f^3 (x_4 ) = f(x_1 )f(x_2 )f(x_3 )\,\,\,\,(1)}

1. Αν δύο από τους αριθμούς \displaystyle{f(x_1 ),f(x_2 ),f(x_3 ),f(x_4 )} είναι ίσοι μεταξύ τους τότε το ζητούμενο ισχύει.

2. Αν οι αριθμοί \displaystyle{f(x_1 ),f(x_2 ),f(x_3 ),f(x_4 )} είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε:

Ο αριθμός \displaystyle{f(x_4 )} δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από καθένα εκ των \displaystyle{f(x_1 ),f(x_2 ),f(x_3 )} γιατί τότε θα ήταν \displaystyle{ 
f^3 (x_4 ) > f(x_1 )f(x_2 )f(x_3 )\,\,} που αντιβαίνει στην (1) .

Όμοια ο αριθμός \displaystyle{f(x_4 )} δεν μπορεί να είναι μικρότερος από καθένα εκ των \displaystyle{f(x_1 ),f(x_2 ),f(x_3 )} γιατί τότε θα ήταν \displaystyle{ 
f^3 (x_4 ) < f(x_1 )f(x_2 )f(x_3 )\,\,} που επίσης αντιβαίνει στην (1) .

Επομένως ο αριθμός \displaystyle{f(x_4 )} βρίσκεται (γνήσια) μεταξύ των δύο από τους τρεις αριθμούς\displaystyle{f(x_1 ),f(x_2 ),f(x_3 )} .

Χωρίς βλάβη , έστω ότι \displaystyle{\,f(x_1 ) < f(x_4 ) < f(x_2 )} , τότε ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών για την f στο \displaystyle{ 
\left[ {x_1 ,x_2 } \right]} οπότε υπάρχει \displaystyle{ 
x_o  \in \left( {x_1 ,x_2 } \right)\,\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f(x_o ) = f(x_4 )\,} , προφανώς \displaystyle{x_o  \ne x_4 } . Προκύπτει τώρα ότι η f δεν είναι 1-1 στο [α,β].

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Δεκ 20, 2010 5:22 pm

Θάνο και Γιώργο καταπληκτικές λύσεις! Θωμά σε ευχαριστώ μόλις βρήκα το θέμα 2Α!!!!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Δευ Δεκ 20, 2010 6:07 pm

Μάκη για δες και αυτή τη λύση.

\displaystyle{\begin{gathered} 
  {x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\mathop  \Rightarrow \limits^{f \uparrow } f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right) \leqslant f\left( {{x_4}} \right) \hfill \\ 
  \begin{array}{*{20}{c}} 
  {f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right)} \\  
  {f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right)} \\  
  {f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right)}  
\end{array} \Rightarrow {f^3}\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_1}} \right)f\left( {{x_2}} \right)f\left( {{x_3}} \right) \leqslant {f^3}\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow  \hfill \\ 
  {f^3}\left( {{x_1}} \right) \leqslant {f^3}\left( {{x_4}} \right) \leqslant {f^3}\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_4}} \right) \leqslant f\left( {{x_3}} \right) \hfill \\  
\end{gathered} }.
f: συνεχής στο \displaystyle{\left[ {{x_1},{x_3}} \right]}, οπότε εφαρμόζοντας το Θ.Ε.Τ
βρίσκουμε ένα \displaystyle{\xi  \in \left[ {{x_1},{x_3}} \right]} ώστε \displaystyle{f\left( \xi  \right) = f\left( {{x_4}} \right)}, άρα όχι 1-1.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 2 Πονηρούλα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 20, 2010 6:31 pm

Αλλιώς (και χωρίς χρήση συνέχειας): Αφού f αύξουσα και θετική έχουμε f^3(x_4)= f(x_1)f(x_2)f(x_3)\le f^3(x_4). Άρα έχουμε ισότητα παντού.
Συνεπώς δεν μπορεί καμία από τις ανισότητες f(x_1)\le f(x_4),\, f(x_2)\le f(x_4),\,f(x_3)\le f(x_4),\, να είναι γνήσια.
Δηλαδή ισχύει f(x_1)= f(x_2)=f(x_3)= f(x_4).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Δεκ 20, 2010 6:55 pm

Δεν έχω λόγια και ας τολμήσει κανείς μαθητής να πει ότι ήταν δύσκολη, με 7 τρόπους θα του την λύσω!!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Δευ Δεκ 20, 2010 10:47 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Θάνο και Γιώργο καταπληκτικές λύσεις! Θωμά σε ευχαριστώ μόλις βρήκα το θέμα 2Α!!!!
Μάκη

Στο 2Β, βάλε να αποδείξουν το Θεώρημα Fermat, με διαφορετικό τρόπο από τον Willes.

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 Πονηρούλα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Δεκ 20, 2010 11:13 pm

Αυτό το έχω βάλει στο 3Γ, έχεις δει :shock: τα θέματά μου;; Θα σου στείλω με e-mail τα διαγωνίσματα


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης