Πονηρούλα 3

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Πονηρούλα 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Δευ Δεκ 20, 2010 1:06 pm

Ακόμα μια ειδική άσκηση για τους μαθητές που έχουν κατανοήσει ότι:
"άλλο ο αριθμός f(x) και άλλο η συνάρτηση f .

Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f:R \to R} που ικανοποιούν τη συνθήκη: \displaystyle{{f^2}(x) = 7f(x) - 10} (1) για κάθε \displaystyle{x \in R}.
i. Να δειχθεί ότι τη σχέση (1) ικανοποιούν άπειρες συναρτήσεις.
ii. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που ικανοποιούν την (1).

Καλό σας απόγευμα,
Θωμάς.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Πονηρούλα 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Δεκ 20, 2010 2:27 pm

Μια λύση :

H είναι ισοδύναμη με την \displaystyle \left(f\left(x \right)-2 \right)\left(f\left(x \right)-5 \right)=0 ,x\in \mathbb{R}.

Τώρα οι συναρτήσεις¨μορφής: \displaystyle f\left(x \right)=\begin{cases} 
5 & \text{  }, x\geqslant x_{0}  \\  
 2& \text{  }, x<x_{0}    
\end{cases} ικανοποιούν την αρχική και είναι άπειρες μιας και το x_{0} είναι τυχαίο.

Στο άλλο ερώτημα έχουμε σαν δεδομένο ότι η συναρτηση είναι συνεχής.Η αρχική παίρνει επίσης την μορφή: \displaystyle f^{2}\left(x \right)=7f\left(x \right)-10\Leftrightarrow \left(f\left(x \right)-\frac{7}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4}, x \in \mathbb{R}.

Η συνάρτηση \displaystyle g\left(x \right)=g\left(x \right)-\frac{7}{2}, x\in \mathbb{R} είναι συνεχής και διαφορετική από 0 όπως φαίνεται από την πανω σχέση.Άρα: \displaystyle g\left(x \right)>0 \vee  g\left(x \right)<0 ,\forall x \in \mathbb{R}.

Άν \displaystyle g\left(x \right)>0\Rightarrow f\left(x \right)>\frac{7}{2} τότε: \displaystyle g\left(x \right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow f\left(x \right)=5 , \displaystyle x \in \mathbb{R} δεκτή.

Άν \displaystyle g\left(x \right)<0\Rightarrow f\left(x \right)<\frac{7}{2} τότε: \displaystyle g\left(x \right)=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow f\left(x \right)=2 , \displaystyle \x \in \mathbb{R} δεκτή.

EDIT: Διορθώθηκαν μερικά τυπογραφικά.
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Κυρ Σεπ 11, 2011 1:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dreamkiller
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Πονηρούλα 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Δευ Δεκ 20, 2010 3:29 pm

Μια φαινομενικά διαφορετική απάντηση απ' αυτήν του Κώστα για το δεύτερο ερώτημα:
Αν υπάρχουν a,b \in \mathbb{R} τέτοια ώστε f(a)=2 και f(b)=5 τότε από το Θ.Ε.Τ η f παίρνει και τιμές ενδιάμεσες του 2 και του 5. Τέτοιες τιμές όμως δεν επαληθεύουν το ζητούμενο.
Άρα f(x)=2 \forall x \in \mathbb{R}, ή f(x)=5 \forall x \in \mathbb{R}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες