Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Δεκ 23, 2010 9:32 pm

Μια νέα άσκηση,από πρόσφατο μαθηματικό διαγωνισμό , που δε θυμάμαι να την έχω στο αρχείο μου ή αλλού.Τη δίνω σε κλιμακωτή μορφή, ώστε να είναι εύκολα αξιοποιήσιμη.

ΑΣΚΗΣΗ

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το \mathbb R είναι 1-1 και έχει την ιδιότητα :

f(x)\cdot f(1-x)= f(ax+b), \forall x \in \mathbb R
Να αποδειχθεί ότι :

α) a=0

β) f(b)\neq 0

γ) f(1-b) = 1

δ) η συνάρτηση f δεν έχει σύνολο τιμών το \mathbb R.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Δεκ 23, 2010 9:43 pm

Μια γρήγορη λύση:
στο α. ερώτημα θέτουμε διαδοχικά χ=1, χ=0 και έχουμε f(1)f(0)=f(a+b)=f(b), f 1-1 άρα α=0.
Για το β. για α=0 έχουμε f(1)f(0)=0, υποθέτοντας οτι f(β)=0. Δηλαδή για 2 διαφορετικές τιμές έχουμε τις ίδιες εικόνες σε 1-1 συνάρτηση άτοπο.
Επειδή f(β) διαφορετικό του 0 για χ=β στην αρχική λαμβάνουμε το ζητούμενο για το 3ο ερώτημα.
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Πέμ Δεκ 23, 2010 9:49 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 23, 2010 9:52 pm

Δεν βάζω λύση στην ωραία αυτή ασκησούλα αλλά ορμώμενος από εδώ
viewtopic.php?f=52&t=11864&p=64662#p64662,
όπου μία συναρτησιακή σχέση βγήκε χωρίς να ικανοποιείται από καμία συνάρτηση, σημειώνω ότι είναι πάντα χρήσιμο να εξετάζουμε αν η σχέση μας ικανοποιείται από κάποια συνάρτηση. Συνήθως μας ενδιαφέρει (διδακτικά) η συνάρτηση που την ικανοποιεί, να είναι μη τετριμμένη.

Μπορείτε να βρείτε παράδειγμα μη τετριμμένης συνάρτησης που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;

Μία τέτοια είναι η
Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: H λύση με πρόλαβε έτσι κι αλλιώς.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Δεκ 23, 2010 9:54 pm

(α) Για x = 0, x=1 βρίσκουμε ότι: f(1)f(0)=f(a+b)=f(b),
και αφού η f είναι 1-1, a+b=b \Leftrightarrow a=0.

(β) Ισχύει: f(x)f(1-x)=f(b).
Έστω ότι f(b)=0, τότε f(x)f(1-x)=0.
Για x=0, x=2, έχουμε ότι:
* f(0)=0 ή f(1)=0 και
* f(2)=0 ή f(-1) = 0.
Συνεπώς: f(0)=f(2) ή f(0)=f(-1) ή f(1)=f(2) ή f(1) = f(-1)
και αφού η f είναι 1-1, θα προκύπτει
0=2 ή 2=-1 ή 1=2 ή 1=-1, Άτοπο σε κάθε περίπτωση, άρα f(b) \neq 0.

(γ) Για x=b, έχουμε:
f(b)f(1-b)=f(b) \Leftrightarrow f(1-b)=1.

(δ) Έστω ότι υπάρχει x_0 \in \mathbb{R}, ώστε f(x_0)=0.
Τότε για x=x_0, έχουμε ότι:
f(x)f(1-x)=f(x_0) \Leftrightarrow f(x)f(1-x)=0.
Για x=2, x=3 έχουμε
* f(2)=0 ή f(-1) = 0 και
* f(3) = 0 ή f(-2)=0,
οπότε ( f(2)=f(x_0) ή f(-1)=f(x_0)) και (f(3)=f(x_0) ή f(-2)=f(x_0)) , δηλαδή αφού η f είναι 1-1,
( 2=x_0 ή -1=x_0) και (3=x_0 ή -2=x_0),
συνεπώς 2=x_0=3 ή 2=x_0=-2 ή -1=x_0=3 ή -1=x_0=-2,
άτοπο σε κάθε περίπτωση, άρα δεν υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} με f(x_0)=0,
δηλαδή το 0 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα f(A) \neq \mathbb{R}.

edit: Κατόπιν παραίνεσης του θεματοδότη, αναλύω λίγο τα (β,δ).
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Πέμ Δεκ 23, 2010 10:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Δεκ 23, 2010 9:58 pm

Μία απάντηση για το
ιι.
Έστω ότι f(b)=0 τότε για χ = 0 παίνρουμε \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0 \vee f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow b = 0 \vee b = 1}
και για χ = 3 έχουμε \displaystyle{f\left( 3 \right) = 0 \vee f\left( { - 2} \right) = 0 \Rightarrow b = 3 \vee b =  - 2}

άτοπο
για το δ)
Έστω ότι η f παίρνει΄όλες τις πραγματικές τιμές άρα θα υπάρχει πραγματικός κ που η εικόνα του θα είναι το 0
για χ = κ παίρνουμε 0=f(b) άτοπο. Άρα το σύνολο τιμών δεν είναι όλο το R


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10934
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συνάρτηση - γενικές ιδιότητες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 23, 2010 10:12 pm

β) Έστω f(b)=0 . Επειδή f(1)f(0)=0   , f(1/2)f(1/2)=0 θα έχω f(1/2)=0

και κάποιος από τους f(1) , f(0) ίσος με 0 , άτοπο

γ) Προκύπτει άμεσα για x = b

δ) Αν f(x) = 0 για κάποιο x τότε και f(b) = 0 άτοπο

ε) Γρηγορότεροι πολλοί !


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης