Η εξίσωση έχει λύση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Η εξίσωση έχει λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τρί Δεκ 28, 2010 3:23 pm

Έστω n\geq 1 και a_1, a_2, \dots , a_n\in [0,1]. Δείξτε ότι η εξίσωση |x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|=\dfrac{n}{2} έχει λύση στο διάστημα [0,1].


Στράτης Αντωνέας
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11557
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η εξίσωση έχει λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 28, 2010 4:02 pm

stranton έγραψε:Έστω n\geq 1 και a_1, a_2, \dots , a_n\in [0,1]. Δείξτε ότι η εξίσωση |x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|=\dfrac{n}{2} έχει λύση στο διάστημα [0,1].
Ωραία άσκηση.

Θέτουμε f(x) =|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|, που είναι βέβαια συνεχής. Έχουμε, για κάθε a \in [0,1], ότι |a| + |1-a|= a+1-a=1. Άρα

f(0) + f(1) = |a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n| + |1-a_1|+|1-a_2|+\cdots +|1-a_n|= n

Συνεπώς ένας από τους (θετικούς) f(0), \, f(1) είναι \ge \frac{n}{2} και ο άλλος \le \frac{n}{2}. Δηλαδή ο \frac{n}{2} είναι μεταξύ των f(0) και f(1). Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει \xi με f(\xi) = \frac{n}{2}, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Edit: διόρθωσα μικρή αβλεψία.


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Η εξίσωση έχει λύση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τρί Δεκ 28, 2010 4:07 pm

stranton έγραψε:Έστω n\geq 1 και a_1, a_2, \dots , a_n\in [0,1]. Δείξτε ότι η εξίσωση |x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|=\dfrac{n}{2} έχει λύση στο διάστημα [0,1].
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = |x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|-\dfrac{n}{2}

H f είναι συνεχής στο [0,1]

\displaystyle{f(0) = \alpha _1  + \alpha _2  + ... + \alpha _n  - \frac{n}{2}}

\displaystyle{f(1) = \left| {1 - \alpha _1 } \right| + \left| {1 - \alpha _2 } \right| + ... + \left| {1 - \alpha _n } \right| - \frac{n}{2} = 1 - \alpha _1  + 1 - \alpha _2 ... + 1 - \alpha _n  - \frac{n}{2} = \frac{n}{2} - (\alpha _1  + \alpha _2  + ... + \alpha _n )}

\displaystyle{f(0)f(1) =  - \left[ {(\alpha _1  + \alpha _2  + ... + \alpha _n ) - \frac{n}{2}} \right]^2  \le 0}

Από Θεώρημα Bolzano, προκύπτει το ζητούμενο.

Φιλικά Χρήστος :mathexmastree:


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης