Απορια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

harinho7
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τετ Οκτ 20, 2010 7:48 pm
Τοποθεσία: ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑ

Απορια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harinho7 » Τετ Δεκ 29, 2010 12:18 am

Μας δίνεται f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y ανήκει στους θετικούς πραγματικούς
(x-1)(f(x))>0 ν.δ.ο η f γνησίως μονότονη. Είναι από τις ασκήσεις του κυρίου Μπορη. Το έχω γενικά απορία μέσα από μια συναρτησιακή σχέση μπορούμε να βρούμε την μονοτονία της
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τετ Δεκ 29, 2010 12:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή σε LaTeX και τονισμός


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Απορια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τετ Δεκ 29, 2010 12:53 am

Με τον ορισμό της μονοτονίας, πρώτα όμως να διευκρινιστεί για ποια χ ισχύει η ανισότητα; (π.χ. για χ=1 δεν ισχύει)


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Απορια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Δεκ 29, 2010 3:19 am

Μπόρης: 9Α20. Έστω f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y στο R*+ και επιπλέον (x-1)f(x)>0 .Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
harinho7
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τετ Οκτ 20, 2010 7:48 pm
Τοποθεσία: ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑ

Re: Απορια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harinho7 » Τετ Δεκ 29, 2010 10:29 am

Ναι απο τις ασκήσεις του κυριου Μπόρη είναι το γράφω και πάνω.Δεν καταλαβα πως θα δουλέψω με τον ορισμό?Μπορειται να με παρουσιάσετε μια αναλυτική λύση


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Απορια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τετ Δεκ 29, 2010 11:31 am

harinho7 έγραψε:Μπορειται να με παρουσιάσετε μια αναλυτική λύση
Με την υπόθεση ότι η ανισοτική σχέση ισχύει για κάθε x > 1.

Μας δίνεται \displaystyle{f(xy) = f(x) + f(y)} για κάθε \displaystyle{x,y} ανήκει στους θετικούς πραγματικούς. Αν ισχύει ότι (\displaystyle{x - 1)(f(x)) > 0} για κάθε x > 1, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} γνησίως μονότονη.
Λύση
Από τη σχέση \displaystyle{f(xy) = f(x) + f(y)} για x = y = 1 βρίσκουμε ότι f\left( 1 \right) = 0, ενώ y = \frac{1}{x} βρίσκουμε \displaystyle{f\left( {x\frac{1}{x}} \right) = f(x) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = f(x) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) =  - f\left( x \right)}. Ακόμα \displaystyle{f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f\left( {x\frac{1}{y}} \right) = f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{y}} \right) = f\left( x \right) - f\left( y \right)}
Για κάθε x > 1 ισχύει \displaystyle{x - 1)(f(x)) > 0} δηλαδή \displaystyle{f\left( x \right) > 0}
Έτσι για κάθε {x_1},{x_2} > 0 με ..{x_1} < {x_2}.. ισχύει ότι 0 < {x_1} < {x_2} \Rightarrow \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} > 1 \Rightarrow f\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) > 0 \Rightarrowf\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) , επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στο \left( {0, + \infty } \right)


Μίλτος Π


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης