Απορια

harinho7 · #1

Μας δίνεται f(xy)=f(x)+f(y)

για κάθε

ανήκει στους θετικούς πραγματικούς
( x-1)(f(x))>0

ν.δ.ο η

γνησίως μονότονη. Είναι από τις ασκήσεις του κυρίου Μπορη. Το έχω γενικά απορία μέσα από μια συναρτησιακή σχέση μπορούμε να βρούμε την μονοτονία της

Ιστοσελίδα · #2

Με τον ορισμό της μονοτονίας, πρώτα όμως να διευκρινιστεί για ποια χ ισχύει η ανισότητα; (π.χ. για χ=1 δεν ισχύει)

pana1333 · #3

Μπόρης: 9Α20. Έστω f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y στο R*+ και επιπλέον (x-1)f(x)>0 .Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα.

harinho7 · #4

Ναι απο τις ασκήσεις του κυριου Μπόρη είναι το γράφω και πάνω.Δεν καταλαβα πως θα δουλέψω με τον ορισμό?Μπορειται να με παρουσιάσετε μια αναλυτική λύση

Ιστοσελίδα · #5

harinho7 έγραψε:Μπορειται να με παρουσιάσετε μια αναλυτική λύση

Με την υπόθεση ότι η ανισοτική σχέση ισχύει για κάθε x > 1

.

Μας δίνεται $\displaystyle{f(xy) = f(x) + f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y}$ ανήκει στους θετικούς πραγματικούς. Αν ισχύει ότι ( $\displaystyle{x - 1)(f(x)) > 0}$ για κάθε x > 1

, να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ γνησίως μονότονη.
Λύση
Από τη σχέση $\displaystyle{f(xy) = f(x) + f(y)}$ για x = y = 1

βρίσκουμε ότι $f\left( 1 \right) = 0$ , ενώ $y = \frac{1}{x}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f\left( {x\frac{1}{x}} \right) = f(x) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = f(x) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = - f\left( x \right)}$ . Ακόμα $\displaystyle{f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f\left( {x\frac{1}{y}} \right) = f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{y}} \right) = f\left( x \right) - f\left( y \right)}$
Για κάθε x > 1

ισχύει $\displaystyle{x - 1)(f(x)) > 0}$ δηλαδή $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$
Έτσι για κάθε ${x_1},{x_2} > 0$ με .. ${x_1} < {x_2}$ .. ισχύει ότι $0 < {x_1} < {x_2} \Rightarrow \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} > 1 \Rightarrow f\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) > 0 \Rightarrow$ $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ , επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\left( {0, + \infty } \right)$

Μίλτος Π

Απορια

Απορια

Re: Απορια

Re: Απορια

Re: Απορια

Re: Απορια

Μέλη σε σύνδεση