ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

nassou13
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Παρ Σεπ 11, 2009 8:56 am

ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nassou13 » Τετ Δεκ 29, 2010 3:43 pm

Δίνεται η συνεχής στο x_0=0 συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις
f(x+y)=f(x) f(y) για κάθε x,y \in \mathbb R και f(x)\neq  0,\forall x\in \mathbb R
Α. Να δειχθεί ότι f(0)=1
B.Aν f συνεχής στο \mathbb R , Tότε f(x)>0
Γ.Να δείξετε ότι f(-x)~ f(x)=1
Δ. Αν η εξίσωση f(x)=1 , έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η f αντιστρέφεται και ισχύει f^{-1}(xy)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Ιαν 29, 2012 11:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: μετατροπή σε LaTeX


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Δεκ 29, 2010 5:15 pm

i. έχουμε \displaystyle{f(x + \psi ) = f(x) \cdot f(\psi )} οπότε για \displaystyle{x = \psi  = 0} έχουμε \displaystyle{ 
f(0) = f^2 (0) \Leftrightarrow f(0)(f(0) - 1) = 0 \Leftrightarrow f(0) = 1 
} διότι \displaystyle{f(0) \ne 0} αφού \displaystyle{f(x) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in R}

ιι.Εστω οτι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο, τότε υπάρχουν \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} με \displaystyle{\alpha  < \beta }
τέτοια ώστε \displaystyle{f(a) \cdot f(\beta ) < 0}. Επειδή η f είναι συνεχής απο θεώρημα Bolzano έχω οτι υπάρχει \displaystyle{\xi  \in (\alpha ,\beta )} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(\xi ) = 0} ΑΤΟΠΟ,διότι \displaystyle{f(x) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in R}
επόμενως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Ομως f(0)=1>0,οπότε f(x)>0 για κάθε \displaystyle{x \in R}

iii. Για \displaystyle{\psi  =  - x} έχουμε \displaystyle{f(0) = f(x) \cdot f( - x) \Rightarrow f(x) \cdot f( - x) = 1}

iv. Έστω \displaystyle{x_1 ,x_2  \in R} με \displaystyle{ 
f(x_1 ) = f(x_2 ) \Rightarrow f(x_1 ) \cdot \frac{1}{{f(x_2 )}} = 1 \Rightarrow f(x_1 ) \cdot f( - x_2 ) = 1 \Rightarrow f(x_1  - x_2 ) = f(0) \Rightarrow x_1  - x_2  = 0 \Rightarrow x_1  = x_2  
} οπότε η f είναι 1-1,επομένως αντιτρέφεται.

Ειναι \displaystyle{f(x) = \psi _1  \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (\psi _1 )} και \displaystyle{ 
f(\psi ) = \psi _2  \Leftrightarrow \psi  = f^{ - 1} (\psi _2 ) 
}

Απο την δοθείσα σχέση έχουμε \displaystyle{x + \psi  = f^{ - 1} (f(x) \cdot f(\psi ))}
Οπότε \displaystyle{f^{ - 1} (\psi _1 ) + f^{ - 1} (\psi _2 ) = f^{ - 1} (f(x) \cdot f(\psi )) = f^{ - 1} (\psi _1  \cdot \psi _2 )}
ή \displaystyle{f^{ - 1} (x) + f^{ - 1} (\psi ) = f^{ - 1} (x \cdot \psi )}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
nassou13
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Παρ Σεπ 11, 2009 8:56 am

Re: ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nassou13 » Τετ Δεκ 29, 2010 5:56 pm

Σε ευχαριστώ πολύ! :D


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης