Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Κυρ Ιαν 02, 2011 12:18 pm

Εύχομαι καλή χρονιά στους φίλους του mathematica.
Κάθε επιτυχία στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου που δίνουν έναν πολύ δύσκολο αγώνα.

Παρακάτω, ένα δικό μου διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο της Ανάλυσης.
Για όσους το θέλουν σε .doc μπορούν να το κατεβάσουν από εδώ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ




ΘΕΜΑ 1ο

A. Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής στο [α,β]; ......................Μονάδες 9


B. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ......Μονάδες 10.


Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.


α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο \dispalystyle \mathbb{R} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^{}} f(x) =  + \infty } τότε, σε κάθε περίπτωση, \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)} = \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  + \infty } .....Μονάδες 1

β. Αν για δύο συναρτήσεις f , g ισχύουν : \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^{}} f(x) =  + \infty } και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^{}} g(x) = 0} τότε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^{}} \frac{{g(x)}}{{f(x)}}} είναι καλά ορισμένο και είναι ίσο με το 0 .....Μονάδες 1

γ. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα Δ και ισχύει: \displaystyle{f(x) \ne 0} για κάθε x ε Δ τότε οπωσδήποτε η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ.......Μονάδες 1

δ. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο IR και συνεχής στο διάστημα [α , β] τότε αναγκαστικά θα είναι συνεχής στα α, β .....Μονάδες 1

ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ τότε αναγκαστικά θα παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο Δ .......Μονάδες 1

στ. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f στο Δ=[α,β] είναι πάντα το [f(α),f(β)] ......Μονάδες 1



ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} για την οποία ισχύουν: \displaystyle{f(x) =  - f(3 - x),{\rm{  }}\forall x \in\mathbb{R} }

και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \ell ,{\rm{   }}\ell  \in \mathbb{R}

α. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό {x_0} \in \left( {0,3} \right)} τέτοιο ώστε: \displaystyle{f({x_0}) = 0} ......Μονάδες 8

β. Να δείξετε ότι \displaystyle{\ell  < 0} ......Μονάδες 9

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f}.....Μονάδες 8



ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \ln \left( {\alpha {x^2} + x + 1} \right) - \ln \left( {(1 + \alpha )x + \alpha } \right)} , \displaystyle{x > 0} και \displaystyle{\alpha  \ge 0}.

Α. Για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{\alpha } να βρείτε το\displaystyle{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to  + \infty } f(x)}....Μονάδες 8

Β. Έστω ότι \displaystyle{\alpha  = 0}

α. Να μελετήσετε την συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς τη μονοτονία......Μονάδες 5

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f} .......Μονάδες 6

γ. Να ορίσετε την αντίστροφή της .......Μονάδες 6



ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}},για την οποία ισχύει \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - 2}}{x} = 0}

Α.
α.
Να βρείτε το\displaystyle{f(0)} .....Μονάδες 3

β. Να βρείτε το όριο: \displaystyle{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{0}}} \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + f(x)}}{{\eta {\mu ^2}x}}} .....Μονάδες 5

Β. Αν επιπλέον για την f ισχύει: \displaystyle{{f^2}(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{2x}} + 1,{\rm{   }}x \in \mathbb{R}

α. Να δείξετε ότι: f(x) = {e^{ - x}} + {e^x},{\rm{   }}x \in \mathbb{R} ......Μονάδες7

β. Να υπολογίσετε τα όρια\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x)} ......Mονάδες 5

γ. Να χρησιμοποιήσετε δεδομένο ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right]} και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)} για να δείξετε ότι η εξίσωση: \displaystyle{f(x) = k} έχει δύο ακριβώς ρίζες για κάθε τιμή του\displaystyle{k} με \displaystyle{k > 2} .....Μονάδες 5


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Κυρ Ιαν 02, 2011 9:50 pm

Καλησπέρα!
Θα θα κάνω μια προσπάθεια να απαντήσω μερικά, αλλά δεν είμαι σίγουρη αν είναι σωστα...Κύριε Κώστα θα μπορούσατε να διορθώσετε τα λάθη μου αν σας είναι εύκολο; επίσης τις διορθώσεις και τις παρατηρήσεις σας γράψτε τις εδώ για να μπορούν να τις βλέπουν όλα τα παιδιά.

Α. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του (α,β) και επίσης
\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a) και \lim_{x\rightarrow \beta ^-}f(x)=f(\beta )

Β. Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και ισχύει ότι
η f είναι συνεχής στο [α,β]
και f(a)\neq f(\beta )
τότε για κάθε αριθμό n αναμεσα στα f(α) και f(β) τουλάχιστον ένας x_0\in (a,\beta ) έτσι ώστε
f(x_0)=n

Γ.
α-σωστό
β-σωστό
γ-Λάθος
δ-λάθος
ε-λάθος
στ-λάθος

Θέμα 2
α. θέτω x\in [0,3] και ξέρουμε πως
f είναι συνεχής και
για x=0 από τη δοσμένη σχέση έχουμε f(x)=-f(3-x)\Leftrightarrow f(0)=-f(3)
άρα f(0)\cdot f(3)=-f^2(3)<0
και από Θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα x\in [0,3] τέτοιο ώστε f(x_0)=0

Θέμα 3
Α.
αν α=0 τότε
\lim_{x\rightarrow 0}\left(ln(x+1)-lnx\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)}{lnx}=\lim_{x\rightarrow 0}\left[-lnx\cdot ln(x+1) \right]=\lim_{x\rightarrow 0}-lnx \cdot \lim_{x\rightarrow 0} ln(x+1)=+ \infty
αν α>0 τότε
lim_{x\rightarrow 0}\left[ ln(ax^2+x+1)-ln((1+a)+a) \right]=ln1-lna=-lna

ΥΓ. Μια διορθωμένη προσέγγιση του θέματος 3 είναι στο τέλος...
τελευταία επεξεργασία από Stavroulitsa σε Δευ Ιαν 17, 2011 1:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Δευ Ιαν 03, 2011 12:36 am

Σταυρουλίτσα Καλή χρονιά. Μια διόρθωση στο Θέμα 2α.

Είναι -f^{2}\left(3 \right)<0 διότι f\left(3 \right)\neq 0 και f\left(0 \right)\neq 0 και αυτό γιατί η f γνησίως αύξουσα άρα έχει το πολύ μια λύση. Αν λοιπόν ήταν f(3)=0 ή f(0)=0 και επειδή f(0)= -f(3) (για x=0 στην αρχική σχέση) τότε θα ίσχυε f(3)=f(0)=0. Επομένως η f θα είχε δύο λύσεις άτοπο. Άρα f\left(0 \right)f\left(3 \right)<0 επομένως η συνεχής συνάρτηση f έχει τουλάχιστον μια λύση x_{0}\epsilon \left(0,3 \right) και επειδή η f γνησίως αύξουσα η λύση x_{0} είναι μοναδική.

Όσο για το ΘΕΜΑ3α ζητάει το \lim_{x\rightarrow +\propto } και όχι το \lim_{x\rightarrow 0 }.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 03, 2011 12:54 am

k-ser έγραψε:
ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} για την οποία ισχύουν: \displaystyle{f(x) =  - f(3 - x),{\rm{  }}\forall x \in\mathbb{R} }

<...>

α. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό {x_0} \in \left( {0,3} \right)} τέτοιο ώστε: \displaystyle{f({x_0}) = 0} ......Μονάδες 8
Επειδή βλέπω ότι ασχολήθηκαν οι μαθητές μας με την άσκηση, ας κάνω ένα υποερώτημα:

Είδαμε αποδείξεις του με χρήση του θεωρήματος Bolzano. Κάντε μία απόδειξή χωρίς την χρήση του Bolzano.

Μ.


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Δευ Ιαν 03, 2011 1:09 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Κάντε μία απόδειξή χωρίς την χρήση του Bolzano.

Μ.
\displaystyle x=\frac{3}{2}


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Δευ Ιαν 03, 2011 1:31 am

Έγω βρίσκω την λύση με αλλά την αφήνω ως πρόκληση για κάποιον μαθητή....και επίσης να σχολιάσω ότι τα θέματα είναι "έξυπνα", "όμορφα" και "απαιτητικά" :lol: :lol: :lol:
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τρί Ιαν 04, 2011 3:33 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Denton
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Δευ Οκτ 18, 2010 2:09 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Denton » Δευ Ιαν 03, 2011 3:00 am

Καλησπέρα και καλή χρονιά.
Είμαι μαθητής και έχω κολλήσει το α ερώτημα του από το Β μέρος του 4ου θέματος.
Υπάρχει κανένα τέλειο τετράγωνο και δεν τον βλέπω;
Καμία υπόδειξη;


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Ιαν 03, 2011 3:05 am

Άν προσθέσουμε και στα δύο μέλη το \displaystyle \frac{e^{-2x}}{4} θα γίνει \displaystyle \left(f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2} \right)^{2}=\left(e^{x}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^{2} ;)


Denton
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Δευ Οκτ 18, 2010 2:09 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Denton » Δευ Ιαν 03, 2011 3:27 am

kwstas12345 έγραψε:Άν προσθέσουμε και στα δύο μέλη το \displaystyle \frac{e^{-2x}}{4} θα γίνει \displaystyle \left(f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2} \right)^{2}=\left(e^{x}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^{2} ;)
Ευχαριστώ πολύ.
Στην συνέχεια παίρνουμε μια βοηθητική συνάρτηση ίση με αυτό που είναι κάτω από το τετράγωνο του πρώτου μέλους και μηδενίζοντας την,καταλήγουμε σε άτοπο,και δείχνουμε οτι διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Σωστά;


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Ιαν 03, 2011 3:32 am

Nαι επειδή το δεύτερο μέλος ουσιαστικά δεν μηδενίζεται ποτέ η \displaystyle g\left(x \right)=f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2} θα διατηρεί πρόσημο λόγω συνέχειας άρα θα είναι \displaystyle f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2}=\pm \left(e^{x}+\frac{e^{-x}}{2} \right)

από όπου μόνο η \displaystyle f\left(x \right)=e^{x}+e^{-x} είναι δεκτή μιας και \displaystyle f\left(0 \right)=2


Denton
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Δευ Οκτ 18, 2010 2:09 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Denton » Δευ Ιαν 03, 2011 3:40 am

kwstas12345 έγραψε:Nαι επειδή το δεύτερο μέλος ουσιαστικά δεν μηδενίζεται ποτέ η \displaystyle g\left(x \right)=f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2} θα διατηρεί πρόσημο λόγω συνέχειας άρα θα είναι \displaystyle f\left(x \right)-\frac{e^{-x}}{2}=\pm \left(e^{x}+\frac{e^{-x}}{2} \right)

από όπου μόνο η \displaystyle f\left(x \right)=e^{x}+e^{-x} είναι δεκτή μιας και \displaystyle f\left(0 \right)=2
Ευχαριστώ πολύ.
Η βοήθεια σας είναι πολύτιμη.


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Δευ Ιαν 03, 2011 12:17 pm

Stavroulitsa έγραψε:Θα θα κάνω μια προσπάθεια να απαντήσω μερικά, αλλά δεν είμαι σίγουρη αν είναι σωστα...Κύριε Κώστα θα μπορούσατε να διορθώσετε τα λάθη μου αν σας είναι εύκολο; επίσης τις διορθώσεις και τις παρατηρήσεις σας γράψτε τις εδώ για να μπορούν να τις βλέπουν όλα τα παιδιά.
Stavroulitsa,
  • στο 1ο θέμα δεν έχεις λάθος. Πρόσεξε όμως ότι το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θέλει και απόδειξη.
    στο 2ο θέμα να έχεις υπόψιν σου ότι το τετράγωνο ενός αριθμού μπορεί να είναι και ίσο με μηδέν.
Stavroulitsa έγραψε:άρα f(0)\cdot f(3)=-f^2(3)<0
και από Θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα x\in [0,3] τέτοιο ώστεf(x_0)=0
Το σωστό είναι: f(0)\cdot f(3)=-f^2(3)\leq 0. Όμως, δεν μπορεί f(0)\cdot f(3)=0, διαφορετικά και από τη σχέση f(0)=-f(3) θα έπρεπε: f(0)=f(3)=0.
Όμως, λόγω μονοτονίας, f(0)<f(3).
Πρόσεξε ακόμα πως διατυπώνεις το συμπέρασμά σου. Σε μια απόδειξη θα πρέπει το συμπέρασμά μας να συμφωνεί απόλυτα με το ζητούμενο!
  • στο 3ο θέμα, "βρίσκεις" το όριο της συνάρτησης στο 0, κάτι που δεν ζητείται! Ακόμα όμως και αν ήταν ζητούμενο, έχεις κάνει ένα... χαζό λάθος! Δεν σου γράφω ποιο είναι αυτό - προσπάθησε να το βρεις μόνη σου και να το διορθώσεις.
Stavroulitsa,
προσπάθησε να απαντήσεις και στα υπόλοιπα.
Mihalis_Lambrou έγραψε:Είδαμε αποδείξεις του με χρήση του θεωρήματος Bolzano. Κάντε μία απόδειξή χωρίς την χρήση του Bolzano.
A.Spyridakis έγραψε:\displaystyle x=\frac{3}{2}
pana1333 έγραψε:Έγω βρίσκω την λύση με
χρήση 1-1
αλλά την αφήνω ως πρόκληση για κάποιον μαθητή....και επίσης να σχολιάσω ότι τα θέματα είναι "έξυπνα", "όμορφα" και "απαιτητικά" :lol: :lol: :lol:


Μια απόδειξη χωρίς Bolzano θα ήταν και αυτή:
Παρατηρούμε ότι για \displaystyle x=\frac{3}{2} είναι: \displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=0. Άρα για \displaystyle x_0=\frac{3}{2} \in (0,3) είναι \displaystyle f\left(x_0\right)=0. Μάλιστα το \displaystyle x_0=\frac{3}{2} είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο \displaystyle f\left(x_0\right)=0, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Χρήστο. η απόδειξη με 1-1 πως μπορεί να γίνει; Αν θέλεις, μπορείς να τη γράψεις.
Όσο για τα ""έξυπνα", "όμορφα" και "απαιτητικά" θέματα"... δεν το καταλαβαίνω! Αν θέλεις να πεις ότι είναι καλά θέματα, σ' ευχαριστώ. Αν πάλι, εννοείς κάτι άλλο, βοήθησε με να καταλάβω τι εννοείς!

Denton έγραψε:Είμαι μαθητής και έχω κολλήσει το α ερώτημα του από το Β μέρος του 4ου θέματος.
Υπάρχει κανένα τέλειο τετράγωνο και δεν τον βλέπω;

Υπόδειξη
Μπορείς να χρησιμοποιήσεις τον τύπο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης


Κώστας Σερίφης
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Δευ Ιαν 03, 2011 2:38 pm

Χρήστο. η απόδειξη με 1-1 πως μπορεί να γίνει; Αν θέλεις, μπορείς να τη γράψεις.
Όσο για τα ""έξυπνα", "όμορφα" και "απαιτητικά" θέματα"... δεν το καταλαβαίνω! Αν θέλεις να πεις ότι είναι καλά θέματα, σ' ευχαριστώ. Αν πάλι, εννοείς κάτι άλλο, βοήθησε με να καταλάβω τι εννοείς!


Καλησπέρα Κώστα. Ναι το σκέφτηκα βιαστικά δεν γίνεται με 1-1. Όσο για τα θέματα εννοούσα ότι είναι πολύ καλά και για απαιτητικούς μαθητές.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Δευ Ιαν 03, 2011 2:51 pm

pana1333 έγραψε: Όσο για τα θέματα εννοούσα ότι είναι πολύ καλά και για απαιτητικούς μαθητές.
Χρήστο, συγνώμη για την... καχυποψία! - λάθος μου.

Να είσαι καλά.


Κώστας Σερίφης
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Ιαν 03, 2011 9:58 pm

Β. Αν επιπλέον για την f ισχύει: \displaystyle{{f^2}(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{2x}} + 1,{\rm{   }}x \in \mathbb{R}

α. Να δείξετε ότι: f(x) = {e^{ - x}} + {e^x},{\rm{   }}x \in \mathbb{R}


Αν θεωρήσουμε την \displaystyle{{f^2}(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{2x}} + 1,{\rm{   }} εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο το f(x) καταλήγουμε στις \displaystyle{ 
f(x) = e^{ - x}  + e^x ,f(x) = { - e^x }} 
} από τις οποίες η πρώτη είναι δεκτη καθώς επαληθεύει την f(0)=2
τελευταία επεξεργασία από ZITAVITA σε Τρί Ιαν 04, 2011 7:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Δευ Ιαν 03, 2011 11:18 pm

ZITAVITA έγραψε:Αν θεωρήσουμε την \displaystyle{{f^2}(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{2x}} + 1,{\rm{ }}εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο το f(x) καταλήγουμε στις \displaystyle{ f(x) = e^{ - x} + e^x ,\color{red}{f(x) = \frac{{e^{ - x} - 2e^x }}{2}} } από τις οποίες η πρώτη είναι δεκτη καθώς επαληθεύει την f(0)=2
Προσοχή όμως!! Τόσο στις λύσεις, όσο και στην αιτιολόγηση της δεκτής, από τις άπειρες συναρτήσεις, συνάρτησης.


Κώστας Σερίφης
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Δευ Ιαν 03, 2011 11:40 pm

k-ser έγραψε:
ZITAVITA έγραψε:Αν θεωρήσουμε την \displaystyle{{f^2}(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{2x}} + 1,{\rm{ }}εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο το f(x) καταλήγουμε στις \displaystyle{ f(x) = e^{ - x} + e^x ,\color{red}{f(x) =  - e^x }}} } από τις οποίες η πρώτη είναι δεκτη καθώς επαληθεύει την f(0)=2
Προσοχή όμως!! Τόσο στις λύσεις, όσο και στην αιτιολόγηση της δεκτής, από τις άπειρες συναρτήσεις, συνάρτησης.
Εν προκειμένω;
τελευταία επεξεργασία από ZITAVITA σε Τρί Ιαν 04, 2011 7:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10952
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 04, 2011 6:25 pm

Για το 4Βα)

Είναι f^2(x)-e^{2x}=e^{-x}f(x)+1\Rightarrow (f(x)+e^x)(f(x)-e^x)=e^{-x}(f(x)+e^x)

και επειδή f(x)\ne -e^x (αλλιώς θα ήταν f(0)=-1) , προκύπτει f(x)-e^x=e^{-x} ο.ε.δ.

*Συμπλήρωση : Αν ήταν f(k)=0 για κάποιο k\in\mathbb{R} ,τότε 0=e^{2k}+1 άτοπο,

και αφού f συνεχής και f(0)>0 τότε :f(x)\ne -e^x ,\forall  x \in\mathbb{R} κ.λ.π.
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Ιαν 04, 2011 10:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Ιαν 04, 2011 6:50 pm

ZITAVITA έγραψε:Εν προκειμένω;
Θέμα 4 Β.α. (Αναλυτική απάντηση).

Για την συνεχή συνάρτηση \displaystylle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} γνωρίζουμε, από το Α.α., ότι ισχύει: \displaystle f(0)=2.

Επιπλέον μας δίνεται ότι:
\diplaystyle f^2(x)-e^{-x}f(x)=e^{2x}+1, \ \  \forall x \in \mathbb{R}  \Leftrightarrow
\color{blue}{f^2(x)-e^{-x}f(x)-e^{2x}-1=0, \ \  \forall x \in \mathbb{R} \ \ (1)}.

Έστω \displaystyle x \in \mathbb{R}. Σύμφωνα με την \displaystyle \color{blue} {(1)}, ο πραγματικός αριθμός \displaystyle f(x) θα είναι ρίζα της εξίσωσης:
\color{blue}{y^2-e^{-x}y-e^{2x}-1=0,  \ \ (\epsilon)}.
Είναι: \displaystyle \Delta_y=\left(e^{-x}+2e^x\right)^2>0. Οπότε η εξίσωση \displaystyle \color{blue} {(\epsilon)} έχει δύο άνισες ρίζες: \displaystyle \color{blue}{y_1=e^{-x}+e^x, \ \ \ y_2=-e^x}

Άρα \displaystyle \bf{\color{red}{ \left(f(x)=e^{-x}+e^x \ \  \acute{\eta} \ \  f(x)=-e^x  \right) \ \  \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (2)}}.

(Σ' αυτό το σημείο πρέπει να προσέξουμε αυτό:
Από την \displaystyle \bf{\color{red}{(2)}} μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρες συναρτήσεις που να έχουν \displaystle f(0)=2, αρκεί για τα υπόλοιπα \displaystyle x να επιλέγουμε ότι θέλουμε, μεταξύ των \displaystle e^{-x}+e^x και \displaystyle e^x, σαν \displaystyle f(x).

Όμως, αφού η συνάρτησή μας είναι συνεχής, δεν μπορούμε παρά σαν \displaystyle f(x) να επιλέξουμε μόνο το \displaystyle e^{-x}+e^x για κάθε \displaystyle  x\in \mathbb{R}και αυτό γιατί:)

Από την \displaystyle \bf{\color{red}{(2)}} είναι \displaystyle \bf {f(x) \ne 0, \ \  \forall x \in \mathbb{R}} και εφόσον η συνάρτησή μας είναι συνεχής, από το θεώρημα του Bolzano, θα πρέπει να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \displaystyle \bf { \mathbb{R}}.
Δηλαδή \displaystyle \bf {f(x) > 0, \ \  \forall x \in \mathbb{R}} ή \displaystyle \bf {f(x) < 0, \ \  \forall x \in \mathbb{R}}.
Όμως \displaystle f(0)=2>0, άρα θα πρέπει: \displaystyle \bf {f(x) > 0, \ \  \forall x \in \mathbb{R}}.

Άρα, η μοναδική συνεχής συνάρτηση που ορίζεται από την \displaystyle \bf{\color{red}{(2)}}, (και η οποία είναι ισοδύναμη με την \displaystyle \color{blue} {(1)}), είναι η

\displaystyle \bf{f(x)=e^{-x}+e^x , \ \  x\in \mathbb{R}}.
τελευταία επεξεργασία από k-ser σε Τρί Ιαν 04, 2011 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κώστας Σερίφης
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο.

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Ιαν 04, 2011 7:00 pm

KARKAR έγραψε:Για το 4Βα)

Είναι f^2(x)-e^{2x}=e^{-x}f(x)+1\Rightarrow (f(x)+e^x)(f(x)-e^x)=e^{-x}(f(x)+e^x)

και επειδή f(x)\ne -e^x (αλλιώς θα ήταν f(0)=-1) , προκύπτει f(x)-e^x=e^{-x} ο.ε.δ.
Πολύ καλή η σκέψη σου. Πρέπει, όμως, πρώτα να αποδείξεις ότι f(x)\ne -e^x για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, (μπορείς να δεις το προηγούμενο μήνυμά μου). Ακόμη, είναι απαραίτητο να σημειώνεις στο τέλος των ισοτήτων για ποια x αυτές ισχύουν!


Κώστας Σερίφης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες