Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 07, 2011 11:53 pm

Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει f(g(x)) = x, για κάθε x πραγματικό αριθμό,
τότε οι f, g είναι μεταξύ τους αντίστροφες;


Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Σάβ Ιαν 08, 2011 12:34 am

Νομίζω πως ναι:
Αν x_1,x_2 \in \mathbb{R} με g(x_1)=g(x_2), τότε f(g(x_1))=f(g(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2, δηλ. g 1-1, οπότε αντιστρέψιμη.
Θέτοντας τώρα στη σχέση (που ισχύει \forall x \in \mathbb{R} ) όπου x το g^{-1}(x) έχω f(g(g^{-1}(x)))=g^{-1}(x) \Rightarrow f(x) = g^{-1}(x), ό.έ.δ.


nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Σάβ Ιαν 08, 2011 1:02 am

Αποψη μου ειναι οτι οι f,g δεν ειναι αναγκαστικα αντιστροφες [π.χ.αν το π.ο. της f ειναι διαφορετικο απο το συνολο τιμων της g]


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 08, 2011 1:18 am

Η g είναι οπωσήποτε 1-1, αλλά η f δε χρειάζεται να είναι.
Έτσι, αν το πεδίο τιμών της g είναι ένα φραγμένο διάστημα έχουμε αντιπαράδειγμα.

Π.χ. ένα αντιπαράδειγμα εκτός λυκείου είναι το εξής:

g(x)=\arctan (x) αν x\in \mathbb{R} και

f(x)=\tan (x), αν |x|<\pi/2, ενώ
f(x)=0 αν |x|\geq \pi/2.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εικασία (Νο2) για σύνθεση συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Ιαν 08, 2011 2:16 am

Όπως επεσήμανε ο Νίκος η απάντηση εξαρτάται από την σχέση συνόλου τιμών της g και πεδίου ορισμού της f. Aν είναι ίδια δουλεύει η απόδειξη του Αντώνη.
Πράγματι αν υποτεθεί ότι g\left( \mathcal(D)_{g}\right) =\mathcal(D)_{f} τότε με f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right) έχουμε ότι f\left( g\left( t_{1}\right) \right) =f\left( g\left( t_{2}\right) \right) για κατάλληλα D_{g} οπότε t_{1}=t_{2} και αυτομάτως x_{1}=x_{2} και συνεχίζουμε όπως ο Αντώνης.
Τώρα μπορούμε το παράδειγμα του Αχιλλέα να το μετατρέψουμε "επί το σχολικότερον" χρησιμοποιώντας δύο "κλασικές" συναρτήσεις:
\displaystyle{ 
f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\frac{x}{{1 - \left| x \right|}}} & , & {\left| x \right| < 1}  \\ 
   0 & , & {\left| x \right| \ge 1}  \\ 
\end{array}} \right. 
}
\displaystyle{ 
g\left( x \right) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}} 
}
inverse.png
inverse.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης