Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1402
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Ιαν 08, 2011 2:45 am

Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν: f(g(x)) = x και g(f(x)) = x, για κάθε x πραγματικό αριθμό,
τότε οι f, g είναι μεταξύ τους αντίστροφες;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Σάβ Ιαν 08, 2011 3:15 am

Εεεεε τώρα δε βλέπω γιατί να μην είναι! :lol:
Από την εικασία νο 2, τόσο η f όσο και η g είναι 1-1, και πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών είναι και για τις δυο το \mathbb{R}.
κ. Ανδρέα, η εικασία νο 4 θα είναι "αν η f είναι αντίστροφη της g, τότε η g είναι αντίστροφη της f"? :lol:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 08, 2011 3:17 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν: f(g(x)) = x και g(f(x)) = x, για κάθε x πραγματικό αριθμό,
τότε οι f, g είναι μεταξύ τους αντίστροφες;
Μήπως λόγω ώρας χάνω κάτι; Το παραπάνω δεν είναι ο ορισμός των αντίστροφων συναρτήσεων στο \mathbb R; Αν ναι, ποιά είναι η ερώτηση;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 08, 2011 8:44 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν: f(g(x)) = x και g(f(x)) = x, για κάθε x πραγματικό αριθμό,
τότε οι f, g είναι μεταξύ τους αντίστροφες;
Μήπως λόγω ώρας χάνω κάτι; Το παραπάνω δεν είναι ο ορισμός των αντίστροφων συναρτήσεων στο \mathbb R; Αν ναι, ποιά είναι η ερώτηση;
Καλημέρα!

Ας μου επιτραπεί να πω πως προσωπικά με ξενίζει η χρήση της λέξης "εικασία" για τα παραπάνω προβλήματα.

Συνήθως χρησιμοποιείται για ανοικτά ερευνητικά ερωτήματα, όπως "εικασία Poincare" , "εικασία Riemann" κ.ο.κ., με κατάλληλες υποθέσεις που προκύπτουν από την έρευνα.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Σάβ Ιαν 08, 2011 12:09 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν: f(g(x)) = x και g(f(x)) = x, για κάθε x πραγματικό αριθμό,
τότε οι f, g είναι μεταξύ τους αντίστροφες;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Αν μεταφράζω, σωστά τον Ανδρέα.
Η ιδιότητα αν f αντιστρέψιμη, τότε:
\displaystyle{f^{ - 1} \left( {f(x)} \right) = x,x \in A} και \displaystyle{f\left( {f^{ - 1} (x)} \right) = x,x \in f(A)}, ασφαλώς ισχύει.
Πρόκειται για το αντίστροφο της πρότασης.
Έχουμε:
\displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 ) \Rightarrow g\left( {f(x_1 )} \right) = g\left( {f(x_2 )} \right) \Rightarrow x_1  = x_2}, άρα η f είναι 1-1,επομένως αντιστρέφεται.
\displaystyle{f(g(x)) = x \Rightarrow f^{ - 1} \left( {f(g(x))} \right) = f^{ - 1} \left( x \right) \Rightarrow g(x) = f^{ - 1} \left( x \right)}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 08, 2011 1:24 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:

Αν μεταφράζω, σωστά τον Ανδρέα.
Η ιδιότητα αν f αντιστρέψιμη, τότε:
\displaystyle{f^{ - 1} \left( {f(x)} \right) = x,x \in A} και \displaystyle{f\left( {f^{ - 1} (x)} \right) = x,x \in f(A)}, ασφαλώς ισχύει.
Χρήστο, δεν είπα τίποτα διαφορετικό. Νομίζω όμως ότι κάνεις ένα προθύστερο εδώ: Το f^{-1} είναι το όνομα, το σύμβολο, της αντίστροφης, όταν υπάρχει.
Η σωστή σειρά είναι: Εξ ορισμού, υπό τις κατάλληλες προυποθέσεις και τα κατάλληλα πεδία ορισμού και λοιπά, η αντίστροφη της f είναι εκείνη η g με ... f(g(x))=x, g(f(x)) = x (*) ... Μετά λέμε, "την συμβολίζουμε f^{-1}" .
Μόνο για λόγους οικονομίας δεν περνάμε μέσα από την g και γράφουμε την (*) απευθείας με χρήση του f^{-1}.

achilleas έγραψε: προσωπικά με ξενίζει η χρήση της λέξης "εικασία" για τα παραπάνω προβλήματα.
Θα συμφωνήσω με τον Αχιλλέα. Πιστεύω ότι η χρήση του όρου "εικασία" εδώ, αν και τεχνικά σωστή, νομίζω ότι είναι χαλαρή. Ιστορικά ο όρος "εικασία" δίνεται σε ανοικτά προβλήματα που
α) έχουν αντισταθεί επίλυση παρ' όλες τις επί σειρά ετών προσπάθειες της μαθηματικής κοινότητας,
β) υπάρχει πλήθος μερικών αποτελεσμάτων που στηρίζουν την θέση ότι το εικαζόμενο είναι προς την σωστή κατεύθυνση.

Ας δούμε για παράδειγμα την πάλαι ποτέ "εικασία του Fermat".
Πριν την απόδειξή του
α) είχαν ασχοληθεί γίγαντες με το πρόβλημα (προσπαθώντας να το αποδείξουν ή καταρρίψουν),
β) Για συγκεκριμένα n είχε αποδειχθεί. Π.χ. για n=3 το έκανε ο Euler, για n=4 ο τάδε, για n πρώτο της μορφής ... ο τάδε και πάει λέγοντας.

Αυτά.

Φιλικά

Μιχάλης


Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Σάβ Ιαν 08, 2011 3:38 pm

Ελπίζω να μου επιτρέπει ο κ. Μιχάλης να συμπληρώσω κάποιες πληροφορίες για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Η περίπτωση ν=3 όπως είπατε ανήκει στον Όιλερ.
Η ν=4 σύμφωνα με μια ομιλία του κ. Δοξιάδη που είχα παρακολουθήσει ανήκει στον ίδιο αν και στο βιβλίο "το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά" του Σάιμον Σινγκ αναφέρεται ότι η απόδειξη για ν=4 υπήρχε -όχι ολοκληρωμένη, για τον Φερμά άλλωστε μιλάμε- στο διάσημο βιβλίο των Αριθμητικών του Διόφαντου.
Το 1825 οι Γκούσταβ Λεζέν-Ντίριχλετ και Αντριάν-Μαρί Λεζάντρ απέδειξαν την περίπτωση για n=5.
Δεκατέσσερα χρόνια αργότερα ο Γκαμπριέλ Λαμέ απέδειξε την περίπτωση για τον πρώτο αριθμό n=7.
Μεταξύ άλλων για την επίλυση του προβλήματος προσπάθησαν και οι μεγάλοι μαθηματικοί Σοφί Ζερμέν και Ογκιστέν Λουί Κοσί.

Το 1984 ο Γκέρχαρντ Φράι διατύπωσε τον ισχυρισμό ότι αν κάποιος μπορούσε να αποδείξει την εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα, θα αποδείκνυε αμέσως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.
Τελικά το Τ.Θ.Φ. λύθηκε από τους Άντριου Ουάιλς -κυρίως- και Ρίτσαρντ Τέιλορ το 1994.

Να σημειώσω επίσης ότι το Τελευταίο Θέωρημα του Φερμά καλούνταν -λανθασμένα- Θεώρημα -και όχι εικασία, όπως θα ήταν το σωστό- πολύ πριν αποδειχτεί. Τον χαρακτηρισμό Τελευταίο τον οφείλει στο γεγονός ότι παρέμενε η τελευταία από τις παρατηρήσεις του Φερμά -που είχαν διασωθεί- που δεν είχε αποδειχτεί.

Γενικώς πρόκειται για μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία και προτρέπω όποιον δεν έχει ασχοληθεί μαζί της να το κάνει.

ΥΓ. Λίγο άσχετα με το αρχικό θέμα αυτά που γράφω, αλλά ως λάτρης της ιστορίας των Μαθηματικών πιστεύω πως πρέπει όταν μας δίνεται η ευκαιρία να δίνουμε συνοπτικά κάποιες ιστορικές πληροφορίες.

Αντώνης


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1402
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Κυρ Ιαν 09, 2011 2:11 am

Συμφωνώ με τον Αχιλλέα και τον Μιχάλη για το αδόκιμο του όρου "εικασία",
όταν αφορά μάλιστα απλά ερωτήματα. Στη συνέχεια των επόμενων ερωτήσεων
που θα διατυπώνω θα εμφανίζονται με αυτό το όνομα.

Τώρα θέτω το εξής ερώτημα:
Δεν πιο λειτουργικός ο ορισμός της αντίστροφης συνάρτησης ο παρακάτω,
από αυτόν που έχει το σχολικό εγχειρίδιο;

Δύο συναρτήσεις f και g θα ονομάζονται μεταξύ τους αντίστροφες
όταν ισχύει f(g(x)) = x και g(f(x)) = x (υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις
και τα κατάλληλα πεδία ορισμού και λοιπά, όπως έγραψε ο Μιχάλης).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5353
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εικασία (Νο3) για σύνθεση συναρτήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Ιαν 09, 2011 9:49 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:.........................
Τώρα θέτω το εξής ερώτημα:
Δεν πιο λειτουργικός ο ορισμός της αντίστροφης συνάρτησης ο παρακάτω,
από αυτόν που έχει το σχολικό εγχειρίδιο;

Δύο συναρτήσεις f και g θα ονομάζονται μεταξύ τους αντίστροφες
όταν ισχύει f(g(x)) = x και g(f(x)) = x (υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις
και τα κατάλληλα πεδία ορισμού και λοιπά, όπως έγραψε ο Μιχάλης).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Τον έχω δει αυτό τον ορισμό σε βιβλία απειροστικού λογισμού. Δεν θα είχα αντίρρηση. Απλά με αυτό τον τρόπο ο ορισμός δείχνει πολύ θεωρητικός. Οι πολλές εξάλλου πληροφορίες για τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών , σε σχολικό επίπεδο , πιθανόν να μην δώσουν κάτι καλύτερο από αυτό που κάνουμε μέχρι τώρα.Λείπει και η άμεση εποπτεία, αλλά και ο λόγος ύπαρξης της αντίστροφης ως συνάρτησης. Να συμπληρώσω ότι με αυτόν ορισμό πρέπει στη συνέχεια να αποδείξουμε τα προφανή μέχρι τώρα , ότι πχ αν f(a)=b , τότε g(b)=a.
Θα μπορούσαμε όμως να εκμεταλλευτούμε την ιδέα του Ανδρέα και στα σχολικά βιβλία και να συμπληρώσουμε ως παρατήρηση ότι αντίστροφη της f είναι η μοναδική (αυτό πάλι θέλει σχόλιο) συνάρτηση g με τις ιδιότητες που έθεσε ο Ανδρέας. Έτσι θα μπορούσαμε να έχουμε αποφύγει τις παλιές ατέλειωτές συζητήσεις με την αντίστροφη και τα σημεία τομής της με τη συνάρτηση !
Τα πάντα όμως είναι θέμα συνήθειας και εξάσκησης.Με καλή διάθεση και μια σχετική έρευνα στην τάξη , μπορεί να βρεθεί η καλύτερη λύση, αν υπάρχει τέτοια.

Μπάμπης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης