Παιχνίδι με τις μονοτονίες

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Παιχνίδι με τις μονοτονίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τρί Ιαν 18, 2011 1:11 pm

Γειά σας. Ένα ωραίο θέμα, νομίζω. Έστω συνάρτηση f:R\rightarrow R τέτοια ώστε η συνάρτηση h(x)=e^{-f(x)}-f^{3}(x)+2 να είναι γνησίως αύξουσα. Να βρείτε την μονοτονία της f(x) και να λύσετε την ανίσωση: \displaystyle (\frac{1}{2})^{f(x^{2}-x)}-(\frac{1}{2})^{f(4-x)}>0


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Παιχνίδι με τις μονοτονίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιαν 18, 2011 2:10 pm

Κώστα πράγματι είναι ωραίο :clap:

Αφού η h είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R},
για κάθε x_1,x_2 \in \mathbb{R} με x_1>x_2 έχουμε ότι:
\displaystyle{h(x_1)>h(x_2) \Leftrightarrow e^{-f(x_1)}-f^3(x_1)+2>e^{-f(x_2)}-f^3(x_2)+2 \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow(f(x_1)-f(x_2))(f^2(x_1)+f(x_1)f(x_2)+f^2(x_2))<\frac{e^{f(x_2)}-e^{f(x_1)}}{e^{f(x_1)}e^{f(x_2)}}(I)}

* Αν f(x_1)=f(x_2) από την (Ι) προκύπτει ότι 0<0, απορρίπτεται.
* Αν f(x_1)>f(x_2) από την (Ι) προκύπτει ότι το πρώτο μέλος της (Ι) είναι θετικό και το δεύτερο μέλος αρνητικό, απορρίπτεται.

Συνεπώς: f(x_1)<f(x_2), δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}.


Αφού η συνάρτηση g(x)=a^x,0<a<1 είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R},

η δοσμένη ανίσωση ισοδύναμα γίνεται:

\displaystyle{\left(\frac{1}{2} \right )^{f(x^2-x)}>\left(\frac{1}{2} \right )^{f(4-x)} \Leftrightarrow f(x^2-x)<f(4-x) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow x^2-x>4-x \Leftrightarrow x^2>4 \Leftrightarrow x<-2} ή x>2.

Για την λύση της ανίσωσης χρησιμοποίησα ότι αν η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R} ισχύει η ισοδυναμία:
x<y \Leftrightarrow h(x)>h(y), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
* Το ευθύ είναι ο "ορισμός" του σχολικού.
* Για το αντίστροφο.
- Αν x=y, θα ισχύει h(x)=h(y), απορρίπτεται.
- Αν x>y και αφού η h είναι γνησίως φθίνουσα, θα ισχύει h(x)<h(y), απορρίπτεται.

Συνεπώς ισχύει ότι x<y.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Παιχνίδι με τις μονοτονίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Τρί Ιαν 18, 2011 10:23 pm

Μετά απο μακρά παρακολούθηση των τεκταινομένων στο :logo: και δοθείσης της ευκαιρίας (και του χρόνου) αποφάσισα να πάρω μέρος σ' αυτή την όμορφη προσπάθεια, παρουσιάζοντας μια διαφορετική τοποθέτηση του θέματος στο (α) ερώτημα.
Για τη μονοτονία της f αν κοιτάξουμε προσεκτικά τη συναρτησιακή σχέση που δίνεται θα εικάσουμε ότι μάλλον πρόκειται για συνάρτηση γν. φθίνουσα. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η f δεν είναι γν. φθίνουσα. αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν x_{1},x_{2}\epsilon Rμε x_{1}<x_{2} ώστε f(x_{1})\leq f(x_{2}). Τότε εύκολα βρίσκουμε ότι e^{-f(x_{1})}\geq e^{-f(x_{2})} και -f^{3}(x_{1})\geq-f^{3}(x_{2}) οπότε h(x_{1})-2\geq h(x_{2})-2 το οποίο είναι άτοπο καθότι η h είναι γν. αύξουσα. Άρα για κάθε x_{1},x_{2}\epsilon Rμε x_{1}<x_{2} ισχύει f(x_{1})\geq f(x_{2}), οπότε η f είναι γν. φθίνουσα.Κατά τα λοιπά, το δεύτερο ερώτημα, ως έχει.


nikan-dos
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Παιχνίδι με τις μονοτονίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τρί Ιαν 18, 2011 10:35 pm

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση και Νίκο καλώς ήρθες στην παρέα μας.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης