Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 12, 2011 9:48 pm

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ = (α, β) και γ ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος, τότε χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λάθος. Δώστε αντιπαράδειγμα όταν η πρόταση είναι λάθος και απόδειξη όταν η πρόταση είναι σωστή.

1. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ) και στο (γ, β) τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα και στην ένωση τους [άρα στο (α, β)]

2. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

3. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ)U(γ, β) τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (α, γ) και (γ, β), άρα στο (α, β)

4. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

5. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ) και στο (γ, β) και συνεχής στο γ, τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα και στο (α, β)

6. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

7. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ)U(γ, β) και η f συνεχής στο γ, τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα στο (α, β)

8. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Απρ 01, 2011 9:56 pm

Την επαναφέρω πριν ξεχαστεί...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Δεκ 11, 2011 10:50 am

Απαντώ στα 2 πρώτα για αρχή:

Το (α) είναι λάθος, αντιπαράδειγμα: Η f(x)=\frac{a}{x}, a\prec 0 είναι γνησίως αύξουσα στο (-\propto ,0) και στο (0,+\propto ) γιατί για x_{1},x_{2}\in (-\propto ,0) με x_{1}<x_{2}\Rightarrow \frac{1}{x_{1}}>\frac{1}{x_{2}}\Rightarrow \frac{a}{x_{1}}<\frac{a}{x_{2}}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2}) , όμοια για x_{1},x_{2}\in (0,+\propto ), x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2}).
Όμως αν πάρω για παράδειγμα x_{1}=-1,x_{2}=1 είναι f(-1)=-a, f(1)=a και για -1<1, -a>a άρα η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R^{*}.

To (β) είναι λάθος, αντιπαράδειγμα: Η f(x)=\frac{a}{x},a>0 είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\propto ,0) και στο (0,+\propto ) αλλά όχι και στο R^{*} ( όμοιο σκεπτικό με το (α))


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Δεκ 11, 2011 10:59 am

Θα απαντήσω για τα 3) και 4): Λάθος και στα δύο.

Παράδειγμα, η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^3,~x<0 \\ -1,x=0 \\ ~x,~x>0 \end{cases}} έχει πεδίο ορισμού το \mathbb R, είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα

(-\infty,0) και (0,+\infty) και στην ένωσή τους, αλλά όχι στο \mathbb R.


Γιώργος
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:30 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ = (α, β) και γ ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος, τότε χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λάθος. Δώστε αντιπαράδειγμα όταν η πρόταση είναι λάθος και απόδειξη όταν η πρόταση είναι σωστή.

1. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ) και στο (γ, β) τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα και στην ένωση τους [άρα στο (α, β)]

2. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

3. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ)U(γ, β) τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (α, γ) και (γ, β), άρα στο (α, β)

4. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

5. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ) και στο (γ, β) και συνεχής στο γ, τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα και στο (α, β)

6. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....

7. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, γ)U(γ, β) και η f συνεχής στο γ, τότε θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα στο (α, β)

8. Όμοια για γνησίως φθίνουσα....
1. Λάθος.
Η συνάρτηση f(x)=\begin{cases} 
 & \text x+5 ,\;  1< x< 4  \\  
& \text 7,\; x=4 \\ 
 & \text x+1,\; 4<x<9   
\end{cases}
είναι γνησίως αύξουσα στο \; (1,4) \; και στο \; (4,9) \; ,χωρίς να είναι γνησίως αύξουσα στο \; (1,9).

3. Λάθος

Η συνάρτηση f(x)=\begin{cases} 
 & \text x+5 ,\;  1< x< 4  \\  
& \text 7,\; x=4 \\ 
 & \text x+6,\;   4<x<9   
\end{cases}
είναι γνησίως αύξουσα στο (1,4) \bigcup {(4,9)}\; , είναι γνησίως αύξουσα και στο \; (1,4)\; και στο \; (4,9)\;, χωρίς να είναι γνησίως αύξουσα στο (1,9).

Γενικά, αν μία συνάρτηση ορισμένη στο \; (a, \beta) , \gamma \in (a, \beta) \; , είναι γνησίως αύξουσα στο \;  (a,\gamma) \bigcup (\gamma,\beta) \; , θα είναι γνησίως αύξουσα και στο \; (a,\gamma)\; και στο \; (\gamma,\beta)\; , χωρίς να ισχύει το αντίστροφο και χωρίς να είναι κατ'ανάγκη γνησίως αύξουσα στο \; (a, \beta)

5. Σωστό.

Αν μία συνάρτηση \; f \; είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \; (a,b)\; και υπάρχουν τα \; \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}=l_1 , \; \lim_{x \rightarrow b^{-}}=l_2 , τότε είναι \; l_1<f(x)<l_2 , \; \forall x \in (a,b)
Εδώ, επειδή η \; f \; είναι γνησίως αύξουσα στα \; (a , \gamma) , \; (\gamma , \beta) \; και \; \displaystyle \lim_{x \rightarrow \gamma} = f(\gamma) \; , θα ισχύει ότι
\forall \;  x_1 \in (a, \gamma) , \;  x_2 \in (\gamma, \beta) \Rightarrow x_1<\gamma <x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(\gamma)<f(x_2)
Η σχέση \; f(x_1)<f(x_2) \; προφανώς ισχύει για κάθε \; x_1, x_2 \in (a,\gamma) \; ή \; x_1, x_2 \in (\gamma, \beta) \;
Άρα η \; f \; είναι γνησίως αύξουσα στο \; (a , \beta)

7. Σωστό.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Σ - Λ: Μονοτονία και ένωση διαστημάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Δεκ 11, 2011 10:11 pm

Μυρτώ που ξαναέφερες στο προσκήνιο το θέμα, Γιώργο που είσαι πάντα παρών και φίλε Νίκο από νησί μας, σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης