Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Κυρ Φεβ 13, 2011 10:05 pm

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [\alpha ,\beta ], τέτοια ώστε:

[\alpha ,\beta ] \subseteq f\left( {[\alpha ,\beta ]} \right){\rm{   }}{\rm{,      }}f(\alpha ) < \alpha  
 < f(\beta ) < \beta


Να δείξετε ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) η εξίσωση:

\frac{{x - \alpha }}{{f(x) - \alpha }} - \frac{{x - \beta }}{{f(x) - \beta }} = 0

(Συναρτήσεις- Όρια -Συνέχεια: Γ.Τσικαλουδάκη)


Γιώργος Τσικαλουδάκης
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Κυρ Φεβ 13, 2011 10:36 pm

Έχει κάτι που δε βλέπω η άσκηση η προκύπτει άμεσα απο
Bolzano για την \displaystyle g(x)= (f(x)-\beta)(x-a)-(x-\beta)(f(x)-a) στο [α,β]


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Φεβ 13, 2011 10:40 pm

PanosG έγραψε:Έχει κάτι που δε βλέπω η άσκηση η προκύπτει άμεσα απο
Bolzano για την \displaystyle g(x)= (f(x)-\beta)(x-a)-(x-\beta)(f(x)-a) στο [α,β]

Είναι g\left(\alpha  \right)<0,g\left(\beta  \right)<0


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6828
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 13, 2011 10:55 pm

Παναγιώτη καλησπέρα!
Δεν εφαρμόζεται Bolzano γιατί και οι δύο τιμές στα άκρα είναι αρνητικές.
Επειδή \displaystyle{ 
f(a) \ne f(\beta ) 
}
υπάρχει \displaystyle{ 
x_1  \in \left( {a,\beta } \right) 
} τέτοιο ώστε \displaystyle{ 
f(x_1 ) = a 
}
Τότε η g που δίνεις είναι:
\displaystyle{ 
g(x_1 ) = (x_1  - a)(a - \beta ) < 0 
}
Επίσης λόγω συνέχειας θα υπάρχει \displaystyle{ 
x_2  \in \left( {a,\beta } \right) 
}
με \displaystyle{ 
f(x_2 ) = \beta  
}
Τότε \displaystyle{ 
g(x_2 ) = (\beta  - x_2 )(\left( {\beta  - a} \right) > 0 
}
(αφού ισχύει \displaystyle{ 
m \le f(a) < a < f(\beta ) < \beta  \le M 
}
και \displaystyle{ 
f(\beta ) \ne M 
} όπου \displaystyle{ 
m,M 
}
η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα.Απο Θ.Ε.Τ προκύπτει το εν'λόγω \displaystyle{ 
x_2  
})
Τώρα με ένα Bolzano στο \displaystyle{ 
[x_1 ,x_2 ] 
} ή στο \displaystyle{ 
[x_2 ,x_1 ] 
} καθαρίσαμε.

Υ.Γ:Εντάξει χρωστάω μία καλύτερη διατύπωση όσον αφορά στο δεύτερο Θ.Ε.Τ που εφαρμόζω αλλά αυτήν τη στιγμή αδυνατώ.Τουλάχιστον η κεντρική ιδέα είναι η ίδια.Συγνώμη για την ατσαλοσύνη.

Υ.Γ 2:Γράφω μερικά συμληρώματα για να είναι εννιαία η λύση.Μιάς και το ξ δε μηδενίζει τους παρονομαστές της αρχικής εξίσωσης είναι δεκτό ως ρίζα.Το γιατί δείχνεται και δύο μηνύματα πιό κάτω.Ευχαριστώ το Γ.Τσικαλουδάκη για την επισήμανση και το τελικό σκούντηγμα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Φεβ 14, 2011 3:08 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Κυρ Φεβ 13, 2011 11:04 pm

Προσοχή! Σε μια πλήρη Λύση ,πρέπει να ελέγξουμε αν είναι δεκτή η ρίζα, δεδομένου ότι
έχουμε κλασματική εξίσωση.


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6828
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 13, 2011 11:09 pm

Σωστά Γιώργο.Είναι μία πρόχειρη λύση.
Αλλά για το ξ που θα βγάλω μπορεί άραγε να ισχύει \displaystyle{ 
f(\xi ) = a \vee f(\xi ) = \beta  
};

Αν \displaystyle{ 
f(\xi ) = a 
} τότε \displaystyle{ 
g(\xi ) = 0 \Rightarrow (\xi  - a)(a - \beta ) = 0 \Rightarrow \xi  = a  
} άτοπο
Αν \ 
f(\xi ) = \beta  
}
τότε:
\displaystyle{ 
g(\xi ) = 0 \Rightarrow (\beta  - \xi )(\beta  - \alpha ) = 0 \Rightarrow \beta  = \xi  
} άτοπο.
(Και στις δύο περιπτώσεις το ξ είναι εσωτερικό του διαστήματος \displaystyle{ 
(\alpha ,\beta ) 
}.


Χρήστος Κυριαζής
harinho7
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τετ Οκτ 20, 2010 7:48 pm
Τοποθεσία: ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑ

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harinho7 » Τετ Φεβ 16, 2011 10:03 pm

Γεια χαρα,κυριε χρηστο πως αποδειξατε οτι υπαρχει f(x2)=β?
Αυτο που λετε λογο συνεχειας δεν το καταλαβαινω


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6828
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Φεβ 16, 2011 10:11 pm

Γειά χαρά.
Αν και σε αυτή τη λύση ήμουν εξαιρετικά νυσταγμένος θα προσπαθήσω να σου αναλύσω τη σκέψη μου.
Αν \displaystyle{ 
\beta  = M 
}
τότε προφανώς και υπάρχει \displaystyle{ 
x_2  
} και είναι η θέση μεγίστου.Αυτό το σημείο δεν το είχα θίξει στη λύση.
Τώρα αν \displaystyle{ 
f(\beta ) < \beta  < M 
}και λόγω της συνέχειας της f ενεργοποιείται το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης