Βρες τη συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
fotis81
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 22, 2009 1:26 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Βρες τη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fotis81 » Δευ Μάιος 11, 2009 3:59 pm

τη συνάρτηση.doc
(19.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 226 φορές


Φώτης Χ. Κουτσουμπίδης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Βρες τη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Μάιος 11, 2009 5:16 pm

Δεν μπορώ να διαβάσω το π.ο , υποθέτω το R.
f(f(x)+f(y))=x+f(y)+2010 (1) , x ,y στο R
Με εναλλαγή των x , y
f(f(y)+f(x))=y+f(x)+2010 (2) , x ,y στο R
Έστω x , y στο R με f(x) = f(y) τότε f(x)+f(y) = f(y)+f(x) δηλαδή f(f(x)+f(y)) = f(f(y)+f(x)) οπότε από (1) , (2) προκύπτει x+f(y)+2010 = y+f(x)+2010 ή x = y
Συνεπώς η f είναι 1-1 και έτσι αντιστρέφεται.
Θέτουμε στην (1) όπου x το f^{-1}(x) και όπου y το f^{-1}(y) , τότε παίρνουμε:
f(x+y)= f^{-1}(x) + y + 2010 , x ,y στο R , τώρα για y = -x προκύπτει f(0) = f^{-1}(x) -x + 2010 ή f^{-1}(x)= x + f(0) -2010 ,x στο R
Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι f(x) = x + 2010-f(0) , x στο R . Για x = 0 βρίσκουμε f(0)=1005 και έτσι τελικά f(x) = x + 1005 , x στο R .
Προφανώς η f επαληθεύει την (1)

****
Βλέποντας την λύση του Μπάμπη (πιο κάτω) αντιλαμβάνομαι ότι αναζήτησα το ζητούμενο σε όρη και λαγκάδια ενώ αυτό βρισκόταν δίπλα μου!
Αν τον ερμηνεύω σωστά εννοεί ότι πρέπει να δειχθεί ότι η αντίστροφη ορίζεται στο R ή ότι η f έχει σύνολο τιμών το R.
Ολοκληρώνω την περιπλάνησή μου λοιπόν
Από (1),(2) προκύπτει y+f(x) = x+f(y) , x ,y στο R (3)
Έστω y στο R πρέπει η f(x) = y να έχει λύση ως προς x , που είναι το x = 2y-f(y) όπως διαπιστώνουμε με την βοήθεια της (3).

Γιώργος -Περιπλανώμενος
τελευταία επεξεργασία από hsiodos σε Δευ Μάιος 11, 2009 10:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Ροδόπουλος
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Βρες τη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Μάιος 11, 2009 6:25 pm

fotis81 έγραψε:
συνάρτηση.doc
Γράφω κάτι τελείως σύντομα και βιαστικά :

Βάζουμε συγχρόνως όπου y το χ και όπου x το y ,οπότε εξισώνοντας τα πρώτα μέλη στη νέα σχέση και την αρχική ,παίρνουμε :

x + f(y) = y+f(x)

Βάζουμε y=0 και απαιτούμε η f(x) = x +f(0) να επαληθεύει τη δοσμένη σχέση. Έτσι βρίσκουμε f(0) = 1005.

Κάνουμε την επαλήθευση (αν και έγινε ήδη!) και τελειώνουμε με απάντηση την

f(x) = x + 1005.

Μπάμπης

*** Η λύση του προηγουμένου μηνύματος θέλει μερικές ακόμα απαραίτητες προσθήκες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης