Ερωτήσεις μαθητών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Ερωτήσεις μαθητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Πέμ Μαρ 03, 2011 11:42 am

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ
Tο Υπουργείο Παιδείας στο σύνδεσμο:
http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=37
Συναρτήσεις- Όρια
ΕΡΩΤΗΣΗ 13
Βρίσκει την αντίστροφη συνάρτηση θεωρώντας αυθαίρετα ότι το πεδίο ορισμού της {{f}^{-1}}(x)είναι το R.
Συνημμένα
Χωρίς τίτλο_1.png
Χωρίς τίτλο_1.png (182.81 KiB) Προβλήθηκε 2225 φορές


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Πέμ Μαρ 03, 2011 5:52 pm

Μερικές ακόμα παρατηρήσεις στο σύνδεσμο που αναφέρει ο συνάδελφος Κώστας Τηλέγραφος
( http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=37 )
Ερώτηση 24.
Τι σημαίνει η μεταβλητή x παίρνει πολύ κοντά τιμές στο {x_0};

Η απάντηση που δίνει είναι: « Σημαίνει ότι η απόσταση των τιμών της μεταβλητής x από το {x_0}, δηλαδή η \left| {x - {x_0}} \right| γίνεται οσοδήποτε μικρή και αν θέλουμε».
• Δηλαδή, με άλλα λόγια, λέει ότι σημαίνει: \left| {x - {x_0}} \right| < \varepsilon (1), για κάθε ε>0. Αλλά από αυτό προκύπτει ότι: x = {x_0}. Πράγματι, έστω ότι για μια τιμή της μεταβλητής x ισχύει: x \ne {x_0}. Τότε: x - {x_0} \ne 0, οπότε \left| {x - {x_0}} \right| > 0. Έτσι, αφού η (1) ισχύει για κάθε ε>0 θα ισχύει και με \varepsilon  = \left| {x - {x_0}} \right|, οπότε \left| {x - {x_0}} \right| < \left| {x - {x_0}} \right| , άτοπο. Άρα x = {x_0}.
• Τέτοια έννοια που αναφέρει η παραπάνω ερώτηση, δηλαδή: «η μεταβλητή x παίρνει πολύ κοντά τιμές στο {x_0}» δεν ορίζεται στα μαθηματικά ( αν και, όταν δεν μιλάμε αυστηρά, το λέμε μερικές φορές στηριζόμενοι στην εποπτεία). Παρακάτω θα επανέλθω στο θέμα αυτό.
Ερώτηση 27.
Τι σημαίνει ότι μια συνάρτηση f(x) έχει μια ιδιότητα p κοντά στο {x_0}
;
Η απάντηση που δίνει είναι: « Ότι η συνάρτηση f(x) έχει την ιδιότητα p για κάθε x \in (\alpha ,{x_0}) \cup ({x_0},\beta ) ή x \in (\alpha ,{x_0}) ή x \in ({x_0},\beta )».
• Καταρχήν η συνάρτηση είναι f και όχι f(x). f(x) είναι η τιμή της συνάρτησης f στο x. Πέρα από αυτό, στην απάντηση δεν μας λέει τι είναι τα α και β. Εννοεί για οποιαδήποτε α και β ή ότι υπάρχουν τέτοια α και β. Η συνάρτηση δεν θα πρέπει να είναι ορισμένη στα σύνολα αυτά; Η σωστή απάντηση δίνεται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 163.
Σχόλιο. Ενώ λοιπόν ορίζεται η έννοια: « Μια συνάρτηση f έχει μια ιδιότητα p κοντά στο {x_0}», η έννοια: «Η μεταβλητή x παίρνει πολύ κοντά τιμές στο {x_0}» δεν ορίζεται και επομένως η παραπάνω ερώτηση 27 δεν έχει νόημα.
Ερώτηση 30.
Υπάρχουν τα όρια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \eta \mu x,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \eta \mu x;

Η απάντηση που δίνει είναι: « Όχι γιατί είναι περιοδικές συναρτήσεις».
• Αναρωτιέται κανένας, έχει αποδειχθεί πουθενά στο σχολικό βιβλίο ότι σ' αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν τα όρια; Πουθενά δεν αναφέρει τέτοιο πράγμα το σχολικό βιβλίο.
• • Με τέτοιες ερωτήσεις και απαντήσεις κάνουμε τα μαθηματικά δυσκολότερα απ' ό,τι είναι και απομακρύνουμε τους μαθητές από αυτά.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Μαρ 03, 2011 8:21 pm

Ας μην ξεχνάμε ότι οι σταθερές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το \mathbb R είναι περιοδικές, αλλά έχουν όριο και στο συν και στο μείον άπειρο.

Μπ.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 03, 2011 9:25 pm

edit: 21:41, 4/3/2011 Μετά από π.μ. του Μπάμπη Στεργίου, ο οποίος μου επισήμανε ότι αν η σχέση 3\,f^3(x)+2\,f(x)-3x=0 ισχύει για κάθε x\in\mathbb{R}, τότε η αντίστροφη συνάρτηση είναι μοναδική και αποδεικνύεται ότι έχει πεδίο ορισμού όλο το \mathbb{R}, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.
[παρόμοια με την συγκεκριμένη σχέση έχει συζητηθεί στο mathematica, όρα Ζητώ τη γνώμη σας]
και τον οποίο βέβαια ευχαριστώ, οφείλω να διορθώσω την δημοσίευσή μου που αφορά την ίδια σχέση 3\,f^3(x)+2\,f(x)-3x=0, αλλά να ισχύει για x\in\mathbb{R} (όχι για κάθε). Τότε η ερώτηση δέν είναι η ίδια με αυτήν από τό study4exams.gr που έχει στο παραπάνω συνημμένο ο Κώστας και στην οποία αναφέρθηκα αρχικά:

ΕΡΩΤΗΣΗ: Αν δεν γνωρίζω τον τύπο μιας συνάρτησης \color{dgreen}f για την οποία, για \color{dgreen}x \in\mathbb{R}, ισχύει \color{dgreen}3\,f^3(x)+2\,f(x)-3x=0 πως μπορώ να βρώ τον τύπο της αντίστροφή της \color{dgreen}f^{-1} ;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Εφ' όσον η συνάρτηση f δεν δίνεται ώς συνεχής* είναι βέβαιο ότι δεν υπάρχει** μόνο μία συνάρτηση f και η αντίστοιχή της f^{-1}, αλλά άπειρα ζευγάρια f και f^{-1} που ικανοποιούν την συναρτησιακή σχέση. Επομένως δεν μπορούμε να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση αφού δεν υπάρχει μία συνάρτηση.


(*) και με δεδομένη την συνέχεια, αν δεν δίνεται το σύνολο ορισμού της f πάλι δεν εξασφαλίζουμε αυτήν την υποτιθέμενη μοναδικότητά της.
(**) η υπάρξη τουλάχιστον μίας συνάρτησης, αυτής με αντίστροφη την f^{-1}(x)=x^3+\tfrac{2}{3}\,x δείχνεται σε δημοσίευση παραπάνω.

Συγγνώμη για την ταλαιπωρία όσων ασχολήθηκαν με την συγκεκριμένη δημοσίευση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
MarKo
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 28, 2009 12:25 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MarKo » Τρί Μαρ 08, 2011 3:17 pm

Γεια σας,

Ερώτηση μαθητή :

Κύριε , όταν το χ τείνει στο 0 ,τότε δεν είναι ίσο με 0 ;

Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσουμε στα παιδιά ;

Χαιρετισμούς ,
Μάριος


Μάριος
''Διάλεγε πάντα τον καλλίτερο δρόμο,όσο κι αν δύσκολος μοιάζει, η συνήθεια γρήγορα θα τον κάνει εύκολο κι ευχάριστο'' - Πυθαγόρας.
"Anyone who has never made a mistake has never tried anything new." - Albert Einstein.
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Μαρ 08, 2011 3:24 pm

Το ζήτημα είναι πρώτα φιλολογικής φύσεως, τι σημαίνει όριο στα Ελληνικά;


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
MarKo
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 28, 2009 12:25 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MarKo » Τρί Μαρ 08, 2011 3:27 pm

Όπως με τις ασύμπτωτες.


Μάριος
''Διάλεγε πάντα τον καλλίτερο δρόμο,όσο κι αν δύσκολος μοιάζει, η συνήθεια γρήγορα θα τον κάνει εύκολο κι ευχάριστο'' - Πυθαγόρας.
"Anyone who has never made a mistake has never tried anything new." - Albert Einstein.
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τρί Μαρ 08, 2011 8:27 pm

Ομολογώ Γρηγόρη οτι και πάλι δεν σε καταλαβαίνω
τι θα πει για χ ανηκει R;;;;;; ειναι δυνατόν να δώσει κάποιος τέτοια εκφώνηση..
Επίσης δείτε παρακάτω
viewtopic.php?f=52&t=12029


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μαρ 08, 2011 9:04 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Ομολογώ Γρηγόρη οτι και πάλι δεν σε καταλαβαίνω
τι θα πει για χ ανηκει R;;;;;; ειναι δυνατόν να δώσει κάποιος τέτοια εκφώνηση.
Δεν είναι δύσκολο Κώστα, θέλει λίγο προσοχή:

το x \in\mathbb{R} , δεν σημαίνει απαραίτητα γιά κάθε x \in\mathbb{R}. Έτσι:

Άλλο το να ισχύει: α) 3\,f^3(x)+2\,f(x)-3x=0 , για x \in\mathbb{R} ,
και άλλο να ισχύει: β) 3\,f^3(x)+2\,f(x)-3x=0 , για κάθε x \in\mathbb{R} .

Το α) το πλοιρούν άπειρες σε πλήθος ασυνεχείς συναρτήσεις, όχι κατα ανάγκην ορισμένες σε όλο το \mathbb{R} , ενώ
το β) το πλοιρεί μοναδική συνάρτηση f , η οποία αποδεικνύεται ότι όχι μόνο πρέπει να είναι ορισμένη σε όλο το \mathbb{R}, αλλά και συνεχής και παραγωγίσιμη με αντίστροφή την συνάρτηση με τύπο f^{-1}(x)=x^3+\tfrac{2}{3}\,x , x \in\mathbb{R} .

Υ.Γ. και βέβαια μπορεί κάποιος να δώσει τέτοια εκφώνηση. Το α) είναι πλήρες μαθηματικού νοήματος.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τρί Μαρ 08, 2011 9:48 pm

Βρε Γρηγόρη είναι δυνατόν να λέμε βρες τη συνάρτηση για κάποια χ ανήκει R , μου θυμίζει διαφήμιση κινητής τηλεφωνίας <κάποιοι μαζί>>.
Στην εκφώνηση τώρα.
Αν δεν γνωρίζω τον τύπο μιας συνάρτησης f για την οποία γιαx\in \mathbb{R}, ισχύει 3{{f}^{3}}(x)+2f(x)-3x=0 πως μπορώ να βρώ τον τύπο της αντίστροφή της {{f}^{-1}} ;
Η παραπάνω έκφραση στερείται μαθηματικού νοήματος ,και είναι ασαφέστατη
διότι η πρόταση << για την οποία γιαx\in \mathbb{R},>> σημαίνει ότι για κάποιο χ ή για κάποια χ …….. ισχύει 3{{f}^{3}}(x)+2f(x)-3x=0
και βέβαια είναι διαφορετική της για κάθε x\in \mathbb{R}.
Με απλά λόγια η πρόταση << για την οποία γιαx\in \mathbb{R}, ισχύει 3{{f}^{3}}(x)+2f(x)-3x=0>> δεν είναι καν συναρτησιακή σχέση αλλά μια εξίσωση που ικανοποιείται για μια ή για δυο ή …. τιμές του χ .


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μαρ 08, 2011 10:55 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Με απλά λόγια η πρόταση << για την οποία γιαx\in \mathbb{R}, ισχύει 3{{f}^{3}}(x)+2f(x)-3x=0>> δεν είναι καν συναρτησιακή σχέση αλλά μια εξίσωση που ικανοποιείται για μια ή για δυο ή …. τιμές του χ .
"Για μία ή δύο ή άπειρες τιμές του x"...
Είναι γνωστόν ότι μιά συνάρτηση μπορεί να εχει σύνολο ορισμού ένα μονοσύνολο ή ένα δισύνολο ή ένα πεπερασμένου πλήθους ή άπειρου πλήθους σύνολο.

Υ.Γ. Για τον ισχυρισμό του Κώστα, πού έχω σημειώσει με μπλέ, απλώς διαφωνώ.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Μαρ 08, 2011 11:12 pm

MarKo έγραψε:Γεια σας,

Ερώτηση μαθητή :

Κύριε , όταν το χ τείνει στο 0 ,τότε δεν είναι ίσο με 0 ;

Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσουμε στα παιδιά ;

Χαιρετισμούς ,
Μάριος
ΌΧΙ! Όταν το χ τείνει στο μηδέν ΔΕΝ γίνεται ποτέ μηδέν. Μπορεί να είναι κοντά στο 0 μικρότερο ή μεγαλύτερό του αλλά όχι 0.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Μαρ 09, 2011 1:33 am

....Σωτήρη στην ερώτηση του μαθητή γιά να μπορέσει να κατανοήσει αυτό το μυστήριο...

τους λέω να κάνπουν βόλτα πάνω στον {x}'x προς το 0 και να παίρνουν όποιο πραγματικό αριθμό βρίσκουν μπροστά τους….και να τον βάζουν στο τύπο

της συνάρτησης ώστε να παρακολουθούν τι συμβαίνει με τις αντίστοιχες τιμές της….

Τους εξηγώ επίσης με την απλή σχέση αν \alpha <\beta τότε \alpha <\frac{\alpha +\beta }{2}<\beta δηλαδή δεν μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει επόμενος ή προηγούμενος ενός

πραγματικού αριθμού..( πυκνότητα του συνόλου των πραγματικών…) και έτσι καταλαβαίνουν ότι μαζεύοντας αριθμούς ποτέ δεν θα πάρουν στα χέρια τους

το αριθμό εδώ 0 ενώ θα βρίσκονται τόσο κοντά του…μυστήριο….

έτσι με αυτό τον τρόπο ξεπερνάω το σκόπελο αυτό...
Φιλικά Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Τετ Μαρ 09, 2011 3:49 am

MarKo έγραψε:Γεια σας,
Ερώτηση μαθητή :
Κύριε , όταν το χ τείνει στο 0 ,τότε δεν είναι ίσο με 0 ;
Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσουμε στα παιδιά ;
Χαιρετισμούς ,
Μάριος
Αγαπητέ Μάριε.
Στα μαθηματικά ορίζεται το σύμβολο: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) (με ορισμένες προϋποθέσεις για τη συνάρτηση f), αλλά δεν ορίζονται ξεχωριστά τα σύμβολα: \lim f(x) και x \to {x_0} και επομένως, τα σύμβολα αυτά μόνατους δεν έχουν νόημα. Με άλλα λόγια έχει νόημα να λέμε: « Το όριο της συνάρτησης f, όταν το x τείνει στο {x_0}, είναι ίσο με α», δηλαδή: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \alpha ( και τούτο γιατί έχουμε δώσει τους κατάλληλους ορισμούς, με ορισμένες προϋποθέσεις για τη συνάρτηση f, όπως είπα και παραπάνω ) , αλλά δεν έχει νόημα να λέμε ξεχωριστά : «Το όριο της συνάρτησης f είναι ίσο με α» ή ότι: «Το x τείνει στο {x_0} ». Οι έννοιες αυτές δεν ορίζονται ξεχωριστά στα μαθηματικά ( αν, όπως έγραψα και στο προηγούμενο μήνυμα μου, όταν δεν μιλάμε αυστηρά, μερικές φορές λέμε: «x τείνει στο {x_0} » στηριζόμενοι στην εποπτεία).
• Έτσι λοιπόν δεν έχει νόημα να λέμε: x \to 0, δηλαδή να λέμε: «Το x τείνει στο 0».
• Η ισότητα : \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 έχει νόημα γιατί λέει ότι : «Το όριο της συνάρτησης f(x)=x, όταν το x τείνει στο 0, είναι ίσο με 0». Αυτό απέχει πολύ από το να σημαίνει ότι: «Το x τείνει στο 0».
• Η ισότητα: \lim {x_\nu } = 0 ,δηλαδή η ισότητα: \mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } {x_\nu } = 0, έχει νόημα γιατί λέει ότι: « Το όριο της ακολουθίας \left( {{x_\nu }} \right) είναι ίσο με 0» ( εδώ δεν έχουμε x, έχουμε ακολουθία). Στις ακολουθίες όταν γράφουμε: \lim {x_\nu } = \alpha εννοούμε: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } {x_\nu } = \alpha }, αφού δεν προκαλείται σύγχυση αν, για ευκολία, αντί: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to  + \infty } {x_\nu }}, γράφουμε απλά : \displaystyle{\lim {x_\nu }}.
Φιλικά.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τετ Μαρ 09, 2011 8:01 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:....Σωτήρη στην ερώτηση του μαθητή γιά να μπορέσει να κατανοήσει αυτό το μυστήριο...

τους λέω να κάνπουν βόλτα πάνω στον {x}'x προς το 0 και να παίρνουν όποιο πραγματικό αριθμό βρίσκουν μπροστά τους….και να τον βάζουν στο τύπο

της συνάρτησης ώστε να παρακολουθούν τι συμβαίνει με τις αντίστοιχες τιμές της….

Τους εξηγώ επίσης με την απλή σχέση αν \alpha <\beta τότε \alpha <\frac{\alpha +\beta }{2}<\beta δηλαδή δεν μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει επόμενος ή προηγούμενος ενός

πραγματικού αριθμού..( πυκνότητα του συνόλου των πραγματικών…) και έτσι καταλαβαίνουν ότι μαζεύοντας αριθμούς ποτέ δεν θα πάρουν στα χέρια τους

το αριθμό εδώ 0 ενώ θα βρίσκονται τόσο κοντά του…μυστήριο….

έτσι με αυτό τον τρόπο ξεπερνάω το σκόπελο αυτό...
Φιλικά Βασίλης

Αν υποθέσουμε ότι αυτό Βασίλη το έχουν δει στις προηγούμενες τάξεις όταν χτίζουν την ευθεία των πραγματικών αριθμών νομίζω ότι δεν θα έχουν πρόβλημα εδώ με το όριο. Συμφωνώ ότι η υπενθύμιση είναι καλή πάντως...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ardid
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 05, 2011 1:28 pm

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ardid » Τρί Ιούλ 12, 2011 10:59 pm

Είναι σωστό να πούμε ότι για τις συναρτήσεις f(x)=x^{2} και g(x)=-x^{2} ισχύει f(x)\geq g(x) κοντά στο 0; Η έννοια κοντά στο 0 δεν σημαίνει ότι το χ τείνει στο 0 αλλά δε γίνεται ποτέ 0; Αν ναι, τότε το = δεν ισχύει ποτέ κοντά στο 0. Άρα το σωστό δεν είναι να γράψουμε ότι f(x)>g(x) κοντά στο 0; Και με αφορμή αυτό θεωρείται λάθος η πρόταση 5\geq 1; Στα μαθηματικά ο πλεονασμός δεν είναι συνήθως και λάθος;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:03 pm

Καλησπέρα Ardid. Είναι σωστό. Για να χαρακτηρίσουμε το a \geq b σωστό αρκεί να ισχύει a>b ή a=b. Σωστές είναι π.χ. και οι

3\geq 3, 5\leq 5 κτλ


Γιώργος
Ardid
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 05, 2011 1:28 pm

Re: Ερωτήσεις μαθητών

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ardid » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:10 pm

Ευχαριστώ για τη γρήγορη απάντηση! Όσον αφορά το πρώτο μου ερώτημα, το ίσον δεν ισχύει ποτέ κοντά στο 0, σωστά;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης