όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

mixalis_i
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Παρ Δεκ 17, 2010 9:58 am

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixalis_i » Σάβ Απρ 09, 2011 3:24 pm

Μήπως μπορεί κάποιος να μου δώσει μια υπόδειξη (χωρίς De L' Hospital) για το παρακάτω όριο:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{xlnx}{x-1}.

Ευχαριστώ πολύ!


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 09, 2011 3:32 pm

Iσχύει lnx\leq x-1 όταν x>0 αλλα μάλλον δεν βοηθάει τόσο.
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Απρ 09, 2011 4:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Απρ 09, 2011 3:36 pm

Αν f\left( x \right) = \ln x τότε το \mathop {\lim }\limits_{x - 1} \frac{{\ln x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x - 1} \frac{{\ln x - \ln 1}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right).
Όμως f'\left( x \right) = \frac{1}{x} επομένως f'\left( 1 \right) = 1 και έτσι για το ζητούμενο όριο ισχύει ότι \mathop {\lim }\limits_{x - 1} \left( {x\frac{{\ln x}}{{x - 1}}} \right) = 1


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 09, 2011 3:37 pm

Καλύτερα \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{xlnx-1ln1}{x-1}, σαν μια άλλη ιδέα, πάλι με ορισμό παραγώγου.
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Απρ 09, 2011 3:38 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 09, 2011 3:37 pm

...με ορισμό παράγωγου αριθμού....

Το ζητούμενο όριο γράφεται \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}

και επειδή η f(x)=\ln x είναι παραγωγίσιμη στο (0,\,\,+\infty ) με {f}'(x)=\frac{1}{x}

το \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}={f}'(1)=1 οπότε \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\ln x}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}=1\cdot {f}'(1)=1

Φιλικά Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
mixalis_i
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Παρ Δεκ 17, 2010 9:58 am

Re: όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixalis_i » Σάβ Απρ 09, 2011 3:41 pm

Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τις άμεσες απαντήσεις!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης