3 Oριάκια.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

3 Oριάκια.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Κυρ Απρ 10, 2011 4:54 pm

Να υπολογισθούν τα όρια

1)\lim_{x\to2} \frac{2^x+2^{3-x}-6}{\sqrt{2^{-x}}-2^{1-x}};

2)\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}};

3)\lim_{x\to \infty} \left ({\sqrt{x^2+ax+c}+\sqrt{x^2+bx+d}-2x}\right).


Η.Γ
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 3 Oριάκια.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Απρ 10, 2011 6:27 pm

Ας αρχίσω με το πρώτο

\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2^x  + 2^{3 - x}  - 6}}{{\sqrt {2^{ - x} }  - 2^{1 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2^x  + \frac{8}{{2^x }} - 6}}{{2^{ - \frac{x}{2}}  - \frac{2}{{2^x }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{2^{2x}  - 6 \cdot 2^x  + 8}}{{2^x }}}}{{\frac{{2^{\frac{x}{2}}  - 2}}{{2^x }}}} =

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2^x  - 4} \right)\left( {2^x  - 2} \right)}}{{\sqrt {2^x }  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2^x  - 4} \right)\left( {2^x  - 2} \right)\left( {\sqrt {2^x }  + 2} \right)}}{{2^x  - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2^x  - 2} \right)\left( {\sqrt {2^x }  + 2} \right) = 8 
}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 3 Oριάκια.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Απρ 10, 2011 6:54 pm

Συνεχίζω και με το δεύτερο

Πρέπει x \ge 0 , \alpha  \ge 0 και x > \alpha
Αν \alpha  > 0 τότε:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\sqrt x  - \sqrt \alpha  }}{{\sqrt {x^2  - \alpha ^2 } }}\mathop  = \limits^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\frac{{2x}}{{2\sqrt {x^2  - \alpha ^2 } }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\sqrt {x^2  - \alpha ^2 } }}{{2x\sqrt x }} = 0\;\;\left( 1 \right) 
}
και
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\sqrt {x - \alpha } }}{{\sqrt {x^2  - \alpha ^2 } }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\sqrt {x - \alpha } }}{{\sqrt {x - \alpha }  \cdot \sqrt {x + \alpha } }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{1}{{\sqrt {x + \alpha } }} = \frac{1}{{\sqrt {2\alpha } }} = \frac{{\sqrt {2\alpha } }}{{2\alpha }}\;\left( 2 \right) 
}

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ +  } \frac{{\sqrt x  - \sqrt \alpha   + \sqrt {x - \alpha } }}{{\sqrt {x^2  - \alpha ^2 } }} = \frac{{\sqrt {2\alpha } }}{{2\alpha }}

Αν \alpha  = 0
το ζητούμενο όριο γίνεται:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{{\sqrt x  + \sqrt x }}{{\sqrt {x^2 } }}\mathop  = \limits^{x > 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{{2\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{{2x}}{{x\sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{2}{{\sqrt x }} =  + \infty


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 3 Oριάκια.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Απρ 10, 2011 7:24 pm

Άντε και το τρίτο τώρα που πήρα φόρα.

Επειδή στην εκφώνηση δεν διευκρινίζεται το πρόσημο του άπειρου διακρίνω τι περιπτώσεις:
Αν x \to  + \infty τότε:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {x^2  + ax + c}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x^2  + ax + c - x^2 }}{{\sqrt {x^2  + ax + c}  + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {a + \frac{c}{x}} \right)}}{{\sqrt {x^2 \left( {1 + \frac{a}{x} + \frac{c}{{x^2 }}} \right)}  + x}} =

\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {a + \frac{c}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{c}{{x^2 }}}  + x}}\mathop  = \limits^{x > 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {a + \frac{c}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{c}{{x^2 }}}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{a + \frac{c}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{c}{{x^2 }}}  + 1}} = \frac{a}{2}\;\;\left( 1 \right)

Ομοίως
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {x^2  + bx + d}  - x} \right) = \frac{b}{2}\quad \left( 2 \right)

Προσθέτοντας την (1) και (2) θα έχουμε:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {x^2  + ax + c}  + \sqrt {x^2  + bx + d}  - 2x} \right) = \frac{{a + b}}{2}


Αν x \to  - \infty τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {x^2  + ax + c}  + \sqrt {x^2  + bx + d}  - 2x} \right) =  + \infty


Ηλίας Καμπελής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης