Να δειχθεί το όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Να δειχθεί το όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Απρ 13, 2011 11:19 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:R \to R 
} ώστε: \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {e^{f\left( x \right)}  - f\left( x \right)} \right] = 1 
}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 
}


Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Να δειχθεί το όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Απρ 14, 2011 6:44 am

Δεν ξέρω αν το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί μόνον με σχολικές γνώσεις...

Μία απόδειξη έξω από τα σχολικά πλαίσια είναι η

Κατ' αρχάς εύκολα αποδεικνύεται ότι \displaystyle\lim_{t \to \pm \infty}(e^t-t)=+\infty} (1)

Συνεπώς είναι αδύνατον να έχουμε \displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)= \pm \infty.

Θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο το \displaystyle\lim_{x \to 1}f(x) να μην υπάρχει.

Αν ισχύει το παραπάνω ενδεχόμενο τότε θα υπάρχουν ακολουθίες x_n,y_n με x_n \to 1, y_n \to 1 και

f(x_n) \to a, f(y_n) \to b \wedge a \neq b (δεν μπορεί ένα από τα a,b να είναι άπειρο, λόγω της (1))

Τότε e^a-a=1 \wedge e^b-b=1, άρα a=b (γιατί η μοναδική λύση της εξίσωσης e^x-x=1 είναι η x=0), άτοπο.

Συνεπώς \displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)=a \in \mathbb{R} \Rightarrow e^a-a=1 \Rightarrow a=0


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Να δειχθεί το όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Απρ 14, 2011 5:24 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:R \to R 
} ώστε: \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {e^{f\left( x \right)}  - f\left( x \right)} \right] = 1 
}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 
}


Στάθης Κούτρας
Συνάδελφοι και φίλοι

Θέλω να ζητήσω συγνώμη για την ταλαιπωρία διότι στην άσκηση λείπει ένα βασικό δεδομένο το οποίο και δίνω εδώ

ΔΙΝΕΤΑΙ ΕΠΙ ΠΛΕΟΝ ΌΤΙ \displaystyle{ 
f\left( x \right) \in \left[ {0, + \infty } \right) 
}

Τώρα σας υπόσχομαι ότι είναι εντάξει.

Ξέρω ότι είναι "καψώνι" αυτό αλλά ειλικρινά μου διέφυγε

Φιλικά
Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Να δειχθεί το όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 14, 2011 9:31 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:R \to R 
} ώστε: \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {e^{f\left( x \right)}  - f\left( x \right)} \right] = 1 
}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 
}
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ΔΙΝΕΤΑΙ ΕΠΙ ΠΛΕΟΝ ΌΤΙ \displaystyle{ 
f\left( x \right) \in \left[ {0, + \infty } \right) 
}
To παραπάνω δεδομένο δεν χρειάζεται.

Θα κάνω πρώτα μία λύση με το παραπάνω δεδομένο αλλά μετά μία δεύτερη, χωρίς αυτό:

Θέλουμε να δείξουμε (ισοδύναμα) ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f ^2 \left( x \right) = 0 
}

1) Έστω, λοιπόν, f(x) \ge 0 για κάθε x. Tότε, από την e^t \ge 1+ t + \frac {t^2}{2}, \,\, t\ge 0 (απλή και γνωστή) έχουμε

0 \le f^2(x) = 2\left (1 + f(x) + \frac {f^2(x)}{2} - 1- f(x) \right ) \le 2 \left (e^{f(x)} - f(x)-1 \right )

Το δεξί μέλος τείνει στο 0 εξ υποθέσεως. Το ζητούμενο έπεται τώρα από ισοσυγκλίνουσες.

2) Χωρίς την υπόθεση f(x) \ge 0.

Έχουμε από την υπόθεση ότι σε κάποια περιοχή του 1 ισχύει
e^{f(x)} - f(x) < 2. Άρα - f(x) < 2 - e^{f(x)} < 2 οπότε f(x)> -2 (*).

Κατόπιν παρατηρούμε ότι για t>-2 ισχύει e^t \ge 1 + t + \frac{t^2}{20} (**) διότι αν g(t) = e^t -1 - t - \frac{t^2}{20} τότε g^{\prime}(t) = e^t -1 - \frac{t}{10}, g^{\prime \prime}(t) = e^t - \frac{1}{10} \ge e^{-2} - \frac{1}{10} > 0 (διότι e^2 < 10).

H τελευταία δείχνει ότι στη περιοχή του 1 που συζητάμε, η g^{\prime} είναι αύξουσα. Επειδή g^{\prime}(0) = 0 έπεται ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο t=0. Άρα g(t) \ge g(0) = 0, όπως θέλαμε.

Έχουμε τώρα από την (*) και την (**) ότι


0 \le f^2(x) = 20\left (1 + f(x) + \frac {f^2(x)}{20} - 1- f(x) \right ) \le 20 \left (e^{f(x)} - f(x)-1 \right )

που τείνει στο 0, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης