Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Απρ 25, 2011 4:32 pm

Έστω η συνάρτηση f:{R^ * } \to {R^ * }
για την οποία ισχύει
f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R και f\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right), όπου α ένας σταθερός αριθμός του συνόλου ορισμού. Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο {R^ * }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 25, 2011 5:06 pm

Θα δείξουμε πρώτα ότι η f είναι συνεχής στο 1
Έχουμε:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f\left( x \right) = f\left( \alpha  \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{u = \frac{x} 
{\alpha } \Rightarrow x = \alpha u \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } u = 1} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} f\left( {\alpha u} \right) = f\left( \alpha  \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left( {f\left( \alpha  \right) \cdot f\left( u \right)} \right) = f\left( \alpha  \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left( {f\left( \alpha  \right) \cdot f\left( u \right) - f\left( \alpha  \right)} \right) = 0 
}

\displaystyle{ 
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left( {f\left( \alpha  \right) \cdot \left( {f\left( u \right) - 1} \right)} \right) = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( \alpha  \right) \ne 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left( {f\left( u \right) - 1} \right) = 0 
}

\displaystyle{ 
\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) \cdot f\left( y \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = y = 1} f\left( 1 \right) = f^2 \left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( 1 \right) \in R^ *  } f\left( 1 \right) = 1} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left( {f\left( u \right) - f\left( 1 \right)} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} f\left( u \right) = f\left( 1 \right) 
}

άρα η f είναι συνεχής και στο 1

Έστω \displaystyle{ 
x_0  \in R^ *   
} τότε για \displaystyle{ 
x \ne x_0  
} έχουμε:


\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f\left( x \right)\mathop  = \limits^{u = \frac{x} 
{{x_0 }} \Rightarrow x = ux_0 ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } u = 1} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} f\left( {x_0 u} \right) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \left[ {f\left( u \right)f\left( {x_0 } \right)} \right]\mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} f\left( u \right) = f\left( 1 \right) = 1} \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f\left( x \right) = f\left( {x_0 } \right)} 
}

δηλαδή η f είναι συνεχής στο τυχαίο σημείο του πεδίου ορισμού της άρα σε όλο το \displaystyle{ 
R^ *   
}



Φιλικά

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Απρ 25, 2011 6:52 pm

mathxl έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:{R^ * } \to {R^ * }
για την οποία ισχύει
f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R και f\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right), όπου α ένας σταθερός αριθμός του συνόλου ορισμού. Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο {R^ * }
λίγο διαφορετικά
αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x_o\in \mathbb R^*,δηλαδή \displaystyle{\lim_{x\to x_o}f(x)=f(x_o)}
η αρχική για x=y=1 δίνει f(1)=1,\alpha\phi o \upsilon \ f(1)\neq 0

θέτουμε \displaystyle{\frac{xa}{x_o}=u,\alpha\phi o \upsilon \ \   x\to x_o  \ \tau o \tau \epsilon \  \  u\to a,\ a\neq 0}

\displaystyle{\lim_{x\to x_o}f(x)=\lim_{u\to a}f(\frac{x_o u}{a})=\lim_{u\to a}\big(f(x_o)f(\frac{u}{a})\big)=f(x_o)\lim_{u\to a}f(u \frac{1}{a})=f(x_o)\lim_{u\to a}\big(f(u)f(\frac{1}{a})\big)=f(x_o)f(\frac{1}{a})\lim_{u\to a}f(u)=f(x_o)f(\frac{1}{a})f(a)\Rightarrow}

\displaystyle{\lim_{x\to x_o}f(x)=f(x_o)f(1)=f(x_o)}


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης