Υπάρχει?

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Υπάρχει?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Απρ 25, 2011 5:41 pm

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:(0,+oo)--->(0,+oo) τέτοια ώστε f(f(x))=\displaystyle\frac{1}{x}? :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Υπάρχει?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Απρ 25, 2011 5:51 pm

Έστω πως υπάρχει.Τότε αν
\displaystyle{ 
f(x_1 ) = f(x_2 ),x_1 ,x_2  > 0 \Rightarrow f(f(x_1 )) = f(f(x_2 )) \Rightarrow \frac{1}{{x_1 }} = \frac{1}{{x_2 }} \Rightarrow x_1  = x_2  
}
Άρα είναι και 1-1.
Συνεχής και 1-1 λέει κάποιο (εκτός ύλης) θεώρημα συνεπάγεται τη γνήσια μονοτονία της συνάρτησης.
Τώρα η σύνθεση \displaystyle{ 
f(f(x)) 
} είτε η \displaystyle{ 
f 
} είναι γνήσια αύξουσα,είτε γνήσια φθίνουσα,αυτή θα είναι πάντα γνήσια αύξουσα.
Όμως αυτό οδηγεί σε άτοπο αφού ισούται με τη συνάρτηση \displaystyle{ 
\frac{1}{x},x \in (0, + \infty ) 
} η οποία ως γνωστόν είναι γνησίως φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα.

Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Απρ 25, 2011 5:55 pm

Ακριβώς, το εκτός ύλης θεώρημα αποδεικνύται σχολικά, μια ωραία απόδειξη αυτού γίνεται με το θεώρημα Bolzano και μπορείτε να την βρειτε στο βιβλίο του Spivak: "Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός"


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Απρ 25, 2011 5:57 pm

Το διέγραψα

Σωτήρης


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες