Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Απρ 26, 2011 3:10 pm

Δίνεται η συνάρτηση f: \mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει
\displaystyle{2xf(x)+3f(1-x)=\frac{2x^3-5x^2-2x+17}{x-1}} για κάθε x \in \mathbb{R}-\left\{0,1 \right\} και f(1)=-3.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=x-\frac{4}{x}}.

β) Να αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται.

γ) Να βρείτε το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{|f(x)|-3}{2x^2-x-1}}.

δ) Να βρείτε το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}\left[ f(x)\eta \mu \frac{5}{x-2}\right]}.

ε) Να εξετάσετε αν η C_f είναι συμμετρική ως προς το (0, 0).


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Ιουν 15, 2011 7:58 pm

Επαναφορά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιουν 16, 2011 12:45 am

stuart clark έγραψε:\displaystyle{(i) : 2Xf(x) + 3f(1-x) = 2x^2-3x-5-\frac{12}{1-x}}
Φίλε stuart clark,

σου ξέφυγε το x που σημείωσα με κεφαλαίο.

Φιλικά,

Λευτέρης


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη

Re: Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χάρης Γ.Λ. » Πέμ Ιουν 16, 2011 10:14 am

Καλημέρα ,

το α) ερώτημα έχει αρκετες πράξεις μόλις το γράψω θα το ανεβάσω .

β) \displaystyle{f'\left( x \right) = 1 + \frac{4}{{{x^2}}} > 0}
Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right)} καθώς και στο \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}

Ισχύει οτι f(-2)=f(2)=0,αρα δεν είναι 1-1 και επομένως δεν αντιστρέφεται .

γ)\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {f\left( x \right)} \right| - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {x - \frac{4}{x}} \right| - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - x + \frac{4}{x} - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\mathop  = \limits^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1 - \frac{4}{{{x^2}}}}}{{4x - 1}} =  - \frac{5}{3}} διότι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - \frac{4}{x}} \right) =  - 3 < 0} άρα f(x)<0 κοντά στο 1 .

δ) \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - \frac{4}{x}} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {\frac{{{x^2} - 4}}{x}} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right] }\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x}\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{\left( {x + 2} \right)}}{x} \cdot \left( {x - 2} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right] = 2 \cdot 0 = 0}
Ισχύει ότι \displaystyle{\left| {\left( {x - 2} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right| = \left| {x - 2} \right| \cdot \left| {\eta \mu \frac{5}{{x - 2}}} \right| \le \left| {x - 2} \right| \Leftrightarrow  - \left| {x - 2} \right| \le \left( {x - 2} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}} \le \left| {x - 2} \right|}
Επειδή \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - \left| {x - 2} \right|} \right) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\left| {x - 2} \right|} \right)} λόγω κριτηρίου παρεμβολής θα ισχύει \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right)\eta \mu \frac{5}{{x - 2}} = 0}

ε)Για κάθε \displaystyle{x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)} και \displaystyle{ - x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)} ισχύει \displaystyle{f\left( { - x} \right) =  - x + \frac{4}{x} =  - \left( {x - \frac{4}{x}} \right) = f\left( x \right)} άρα η f είναι περιττή επομένως η f είναι συμμετρική ως προς το Ο(0,0)

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάποια πράξη .Τα υπόλοιπα σε επόμενη δημοσίευση.

Δε πρόσεξα τη ακριβώς ζητούσε το β) ερώτημα . ευχαριστώ τους συναδέλφους για την υποδείξη


Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}}  = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Ιουν 17, 2011 9:49 pm

Ευχαριστώ τους συναδέλφους για την ενασχόληση. :clap:

Για το (α) ερώτημα έδειξε ο stuart clark την τεχνική που ακολουθούμε.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης