Άσκηση στις συναρτήσεις

paylos · #1

Μια πολύ καλή άσκηση στις συναρτήσεις, από το πακέτο των 114 ασκήσεων που είχε δημοσιεύσει εδώ λίγο πριν από τις εξετάσεις, ο εκλεκτός συνάδελφος Μ. Παπαγρηγοράκης.

Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε $f\left(f\left(x \right) \right)=x^{2}-x+1$ για κάθε $x\in R$ . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση $g:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε να ισχύει: $g\left(x \right)+xf\left(x \right)-x^{2}=1$ για κάθε πραγματικό αριθμό χ.

#2

Δείξτε

Ιστοσελίδα · #3

Καλησπέρα
Δίνω μια λύση

Έστω ότι υπάρχουν οι συναρτήσεις

και

που ικανοποιούν τις δοσμένες σχέσεις. Τότε στην σχέση $\displaystyle{f(f(x)) = {x^2} - x + 1}$ αν θέσουμε όπου

το $f\left( x \right)$ έχουμε: $\displaystyle{f(f(f(x))) = {f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + 1}$ ή $\displaystyle{f({x^2} - x + 1) = {f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + 1}$ .
Στην τελευταία για x = 1

παίρνουμε: $f\left( 1 \right) = {f^2}\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) + 1$ από όπου βρίσκουμε ότι $f\left( 1 \right) = 1$ . Έτσι η $\displaystyle{g(x) + xf(x) - {x^2} = 1}$ για x = 0

δίνει $\displaystyle{g(0) = 1}$ ενώ για x = 1

δίνει $\displaystyle{g(1) + f(1) - {1^2} = 1}$ ή $\displaystyle{g(1) = 1}$ που είναι άτοπο

Άσκηση στις συναρτήσεις

Άσκηση στις συναρτήσεις

Re: Άσκηση στις συναρτήσεις

Re: Άσκηση στις συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση