Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 03, 2011 8:53 pm

Να λυθεί η εξίσωση : 8x^{3}-4\sqrt[3]{8x+15}-15 = 0


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Ιουν 04, 2011 7:40 am

Ενδιαφέρουσα.

Αν πάμε με σχολικά μαθηματικά ορίζεται στο [-\frac {15}{8}, +\infty) και γράφεται

\displaystyle{8x^3-27=4\left(\sqrt[3]{8x+15}-3\right) \Leftrightarrow (2x-3)(4x^2+6x+9)=\frac {16(2x-3)}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}}

Είναι προφανές ότι έχουμε λύση την x=\frac {3}{2}

Για να βρούμε τις υπόλοιπες λύσεις (αν υπάρχουν) αρκεί να λύσουμε την

\displaystyle{4x^2+6x+9=\frac {16}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}}. (1)

Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=4x^2+6x+9, x \in \mathbb{R}} (εύκολα βγαίνει) έχει ελάχιστο το \displaystyle{\frac {27}{4}}

Η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\frac {16}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}} (επίσης εύκολα βγαίνει)΄είναι

γνησίως φθίνουσα, άρα έχει μέγιστο στο \displaystyle{-\frac {15}{8}}, το \displaystyle{\frac {16}{9}}.

Επειδή \displaystyle{\frac {27}{4}>\frac {16}{9}} η (1) είναι αδύνατη, άρα το \displaystyle{\frac {3}{2}} είναι η μοναδική ρίζα της δοθείσας.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 07, 2011 12:01 am

Μια λύση , που δικαιολογεί την τοποθέτηση σ' αυτόν τον φάκελο ...

Για \displaystyle x\in\left[-\frac{15}{8} , +\infty\right) , η εξίσωση είναι ισοδύμαμη με την :\displaystyle\frac{8x^{3}-15}{4}=\sqrt[3]{8x+15}\Leftrightarrow\frac{8x^{3}-15}{8}=\sqrt[3]{\frac{8x+15}{8}}

Η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\frac{8x^{3}-15}{8} , είναι προφανώς γνησίως αύξουσα , άρα αντιστρέψιμη .

Θέτοντας \displaystyle y=\frac{8x^{3}-15}{8} , εύκολα καταλήγουμε στο \displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{8x+15}{8}} , με \displaystyle x\in\left[-\frac{15}{8} , +\infty\right)

Συνεπώς έχουμε να λύσουμε την εξίσωση : f(x)=f^{-1}(x) , γνωρίζοντας ότι f γν. αύξουσα .

Αυτή όμως , (γνωστή εφαρμογή ) είναι ισοδύναμη με την f(x)=x .

Δηλαδή : \displaystyle \frac{8x^{3}-15}{8}=x\Leftrightarrow 8x^{3}-8x-15=0\Leftrightarrow (2x-3)(4x^{2}+6x+5)=0 ,

που έχει μοναδική (και δεκτή) πραγματική ρίζα την \displaystyle x=\frac{3}{2} ( το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα)


Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Τρί Ιουν 07, 2011 12:45 am

s.kap έγραψε:Ενδιαφέρουσα.

Αν πάμε με σχολικά μαθηματικά ορίζεται στο [-\frac {15}{8}, +\infty) και γράφεται

\displaystyle{8x^3-27=4\left(\sqrt[3]{8x+15}-3\right) \Leftrightarrow (2x-3)(4x^2+6x+9)=\frac {16(2x-3)}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}}

Είναι προφανές ότι έχουμε λύση την x=\frac {3}{2}

Για να βρούμε τις υπόλοιπες λύσεις (αν υπάρχουν) αρκεί να λύσουμε την

\displaystyle{4x^2+6x+9=\frac {16}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}}. (1)

Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=4x^2+6x+9, x \in \mathbb{R}} (εύκολα βγαίνει) έχει ελάχιστο το \displaystyle{\frac {27}{4}}

Η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\frac {16}{\sqrt[3]{(8x+15)^2}+3\sqrt[3]{8x+15}+9}} (επίσης εύκολα βγαίνει)΄είναι

γνησίως φθίνουσα, άρα έχει μέγιστο στο \displaystyle{-\frac {15}{8}}, το \displaystyle{\frac {16}{9}}.

Επειδή \displaystyle{\frac {27}{4}>\frac {16}{9}} η (1) είναι αδύνατη, άρα το \displaystyle{\frac {3}{2}} είναι η μοναδική ρίζα της δοθείσας.
Σπύρο, η λύση σου αυτή μου άρεσε πάρα πολύ. Διδάσκει μια άλλη μεθοδολογία, την οποία πρέπει να έχουμε υπόψη μας. Όπως έχω γράψει και άλλη φορά, δεν πρέπει να δαιμονοποιούμε τις μεθοδολογίες, γιατί είναι και χρήσιμες και αναγκαίες. Βεβαίως κάνει έγκλημα αν κάποιος μαθαίνει τους μαθητές του μεθοδολογίες, χωρίς προηγουμένως να έχει πεισθεί ότι έχουν καταλάβει πλήρως τη θεωρία.
• Συμπληρωματικά, για να δούμε πώς προχωρούμε όταν η ελάχιστη τιμή της μιας συνάρτησης ισούται με τη μέγιστη τιμή της άλλης, προτείνω για λύση την εξής άσκηση:
« Να βρείτε τους αριθμούς x \in (0, + \infty ) καιy \in R, για τις οποίες ισχύει:
\left( {2x\sqrt x  - 2x + 1} \right){e^y} = x(y + 1) »
( Την έχω δημοσιεύσει στο περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄» της Ε.Μ.Ε., τεύχος 79, σελίδα 64)
Με εκτίμηση και αγάπη.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης