Μέγιστο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιουν 11, 2011 9:36 am

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x)=\sigma \upsilon \nu ^{2}x+2^{x+1}.\eta \mu x-4^{x}, με x πραγματικό αριθμό, έχει μέγιστη τιμή η οποία και να βρεθεί.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιουν 11, 2011 10:39 am

Δημήτρη καλημέρα


Έχουμε
\displaystyle{ 
f\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu ^2 x + 2^{x + 1} \eta \mu x - 4^x  = 1 - \eta \mu ^2 x + 2 \cdot 2^x \eta \mu x - 4^x  = 1 - \left( {\eta \mu ^2 x - 2 \cdot 2^x \eta \mu x + 2^{2x} } \right) \Rightarrow  
} \displaystyle{ 
f\left( x \right) = 1 - \left( {\eta \mu x - 2^x } \right)^2 \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {\eta \mu x - 2^x } \right)^2  \geqslant 0,\forall x \in R} \boxed{f\left( x \right) \leqslant 1},\forall x \in R 
}

Για να είναι λοιπόν \displaystyle{ 
\max f = 1 
} αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει \displaystyle{ 
x_0  \in R 
} ώστε : \displaystyle{ 
f\left( {x_0 } \right) = 1 \Leftrightarrow 1 - \left( {\eta \mu x_0  - 2^{x_0 } } \right)^2  = 1 \Leftrightarrow  \ldots \eta \mu x_0  - 2^{x_0 }  = 0 
}

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{ 
g\left( x \right) = \eta \mu x - 2^x  
} και τα διαστήματα \displaystyle{ 
\left[ {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2},2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right],\kappa  \in {\rm Z} 
} με \displaystyle{ 
\kappa  \leqslant 0 
}
}[/tex]

Η \displaystyle{ 
g 
} είναι προφανώς συνεχής (διαφορά συνεχών συναρτήσεων) σε κάθε διάστημα της μορφής \displaystyle{ 
\left[ {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2},2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right],\kappa  \in {\rm Z},\kappa  \leqslant 0 
} με

\displaystyle{ 
g\left( {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}} \right) = \eta \mu \left( {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}} \right) - 2^{2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}}  = 1 - 2^{2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}} \mathop  \Rightarrow \limits^{\kappa  < 0 \Rightarrow 2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2} < 0 \Rightarrow 2^{2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}}  < 1 \Rightarrow 1 - 2^{2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}}  > 0} g\left( {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}} \right) > 0 
}

και \displaystyle{ 
g\left( {2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right) = \eta \mu \left( {2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right) - 2^{2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}}  = 1 - 2^{2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \mathop  \Rightarrow \limits^{2^{2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}}  > 0 \Rightarrow  - 2^{2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}}  < 0 \Rightarrow  - 1 - 2^{2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}}  < 0} g\left( {2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right) < 0 
}

Δηλαδή \displaystyle{ 
g\left( {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2}} \right) \cdot g\left( {2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right) < 0 
} οπότε για την \displaystyle{ 
g 
} ισχύει το θεώρημα του Bolzano σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{ 
\left[ {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2},2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right],\kappa  \in {\rm Z},\kappa  \leqslant 0 
}

άρα υπάρχουν \displaystyle{ 
x_\kappa   \in \left( {2\kappa \pi  - \frac{{3\pi }} 
{2},2\kappa \pi  - \frac{\pi } 
{2}} \right),\kappa  \in {\rm Z},\kappa  < 0 
} ώστε \displaystyle{ 
g\left( {x_\kappa  } \right) = 0 
} \displaystyle{ 
 \Rightarrow \max f = 1 
} και παρουσιάζεται για άπειρες τιμές του πραγματικού \displaystyle{ 
x 
}

Υ.Σ. Στο παρακάτω συννημένο φαίνονται δύο από τα άπειρα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \displaystyle{ 
f_1 \left( x \right) = 2^x   
} και \displaystyle{ 
f_2 \left( x \right) = \eta \mu x 
}

Στάθης
Συνημμένα
2.png
2.png (24.27 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Σάβ Ιουν 11, 2011 11:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιουν 11, 2011 10:57 am

Στάθη, :clap2: :clap2: απάντησες με "ταχύτητα φωτός". Το κατασκεύασα χθές το θέμα και είπα ότι κάποιοι θα το προσπαθήσουν με παραγώγους και θα ταλαιπωρηθούν.

Καλό τριήμερο

Ιωάννου Δημήτρης


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιουν 11, 2011 11:21 am

Ας δώσω και την λύση που έκανα στο θέμα αυτό:

Όπως έγραψε και ο Στάθης, αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση g(x)=\eta \mu x-2^{x}

έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Είναι g(0)=-1<0

g(-3π/2)=1-\frac{1}{2^{\frac{3\pi }{2}}}>0

Άρα λόγω και του ότι η g είναι και συνεχής έχουμε το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης