Συνθεση-Απλή Διδακτική

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Συνθεση-Απλή Διδακτική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Παρ Ιουν 17, 2011 9:03 pm

Από τις ''ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ'' Γ.Τσικαλουδάκη

Δίνονται οι συναρτήσειςf(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 x + 4{\rm{ }},{\rm{   }}x \ge 0 \\  
  \\  
 x - 2{\rm{ }},{\rm{   }}x < 0 \\  
 \end{array} \right.{\rm{  }}{\rm{,     g}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 x - 4{\rm{ }},{\rm{   }}x \ge 0 \\  
  \\  
 x + 2{\rm{ }},{\rm{   }}x < 0 \\  
 \end{array} \right.



α. Να αποδείξετε ότι :
1. η gof είναι η ταυτοτική , 2. f \circ g \ne g \circ f
b. Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει: fog=gof.


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συνθεση-Απλή Διδακτική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιουν 17, 2011 11:13 pm

Καλησπέρα. Μία λύση για το α)

1. Θεωρώ τις f_1(x)=x+4(x \geq 0), f_2(x)=x-2(x<0),g_1(x)=x-4(x \geq 0), g_2(x)=x+2( x<0).

\displaystyle{D_{g_1 o f_1}=\left \{x \geq 0 \mid x+4 \geq 0  \right \}=[0,+\infty )} και \displaystyle{\left(g_1 o f_1\right)(x)=x+4-4=x}

\displaystyle{D_{g_1 o f_2}=\left \{x<0 \mid x-2 \geq 0  \right \}= \emptyset}

\displaystyle{D_{g_2 o f_1}=\left \{x \geq 0 \mid x+4<0  \right \}= \emptyset}

\displaystyle{D_{g_2 o f_2}=\left \{x<0 \mid x-2< 0  \right \}=(-\infty,0 )} και \displaystyle{\left(g_2 o f_2\right)(x)=x-2+2=x}.

Tελικά, \displaystyle{D_{gof}=(-\infty,0)\bigcup{[0,+\infty)}=\mathbb R} και \displaystyle{\left(g o f\right)(x)=x}.

2. \displaystyle{D_{f_1 o g_2}=\left \{x<0 \mid x+2 \geq 0  \right \}=[-2,0)} και \displaystyle{\left(f_1 o g_2\right)(x)=x+4+2=x+6 \ne x}. Άρα, f o g \ne g o f.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συνθεση-Απλή Διδακτική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιουν 17, 2011 11:24 pm

Για το b)

Mε όμοια διαδικασία προκύπτουν:

(f_1og_1)(x)=x με x \in [4,+\infty)
(f_1og_2)(x)=x+6 με x \in [-2,0)
(f_2og_1)(x)=x-6 με x \in [0,4)
(f_2og_2)(x)=x με x \in (-\infty,-2)

Άρα, fog=gof, για x\in (-\infty,-2) \bigcup [4,+\infty)


Γιώργος
G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: Συνθεση-Απλή Διδακτική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Κυρ Ιουν 19, 2011 2:49 pm

Ας δώσουμε και μια ''οριζοντια '' λύση:

α. 1. \left( {g \circ f} \right)(x) = g\left( {f(x)} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
 g(x + 4){\rm{ }}{\rm{,  x}} \ge {\rm{0}} \\  
  \\  
 g(x - 2){\rm{ }}{\rm{,  x}} < {\rm{0}} \\  
 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} 
 {\rm{x + 4}} - {\rm{4 }}{\rm{,  x}} \ge {\rm{0}} \\  
  \\  
 x + 2{\rm{ }}{\rm{,  x}} < {\rm{0}} \\  
 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} 
 {\rm{x }}{\rm{,  x}} \ge {\rm{0}} \\  
  \\  
 x{\rm{ }}{\rm{,  x}} < {\rm{0}} \\  
 \end{array} \right.

2. f\left( {g(0)} \right) = f( - 4) =  - 6 \ne 0 = g\left( {f(0)} \right)

άρα f \circ g \ne g \circ f

β. Επειδή: \left( {g \circ f} \right)(x) = x{\rm{ }}{\rm{, x}} \in {\rm{R}}
έχουμε:
\begin{array}{l} 
 \left( {g\circ f} \right)(x) = \left( {f \circ g} \right)(x){\rm{   }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {f \circ g} \right)(x) = x{\rm{    }} \Leftrightarrow {\rm{  }} \\  
  \\  
 f\left( {g(x)} \right) = x{\rm{  }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} 
 {\rm{f(x}} - {\rm{4) = x }}{\rm{, x}} \ge 0 \\  
  \\  
 {\rm{f(x}} + 2{\rm{) = x }}{\rm{, x}} < 0 \\  
 \end{array} \right.{\rm{    }} \Leftrightarrow {\rm{  }}\left\{ \begin{array}{l} 
 {\rm{x}} = {\rm{x }}{\rm{, x}} \ge 4 \\  
  \\  
 {\rm{x = x }}{\rm{, x}} <  - 2 \\  
 \end{array} \right. \\  
 \end{array}.

Άρα f \circ g = f \circ g , στο ( - \infty , - 2) \cup [4, + \infty )


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες