Για εισαγωγή στην ανάλυση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Για εισαγωγή στην ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Ιουν 21, 2011 11:31 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + x + 1}}, \displaystyle{h\left( x \right) = {x^2} + x + \frac{5}{4}} και g\left( x \right) = \ln {\left( {{x^2} + x + \frac{5}{4}} \right)^{ - 1}} - 3.

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο το - 3 και να βρεθεί η τιμή του x για την οποία ισχύει f\left( x \right) =  - 3.

β) Να μελετηθεί η συνάρτηση h ως προς τα ακρότατα.

γ) Να βρεθεί, αν υπάρχει, x \in R τέτοιο ώστε να ισχύει f\left( x \right) = g\left( x \right).


Ηλίας Καμπελής
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Για εισαγωγή στην ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τετ Ιουν 22, 2011 10:53 am

α) Είναι D_f = \mathbb{R}. Για κάθε x\in\mathbb{R} είναι:
f(x)\geq -3 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x-2}{x^2+x+1}\geq -3 \Leftrightarrow (2x+1)^2\geq 0. Άρα f(x)\geq -3 = f(-\frac{1}{2}).

β) Για κάθε x\in\mathbb{R} είναι: h(x)=x^2+x+\frac{5}{4} = (x+\frac{1}{2})^2+1 \geq 1 = f(-\frac{1}{2}).

γ) Για κάθε x\in\mathbb{R} είναι: h(x)\geq 1 \Rightarrow 0 < h^{-1}(x) \leq 1 \Rightarrow \ln h^{-1}(x) \leq 0 \Rightarrow g(x)\leq -3 = g(-\frac{1}{2}).
Άρα f(x)\geq  f(-\frac{1}{2}) = g(-\frac{1}{2}) \geq g(x) , x\in\mathbb{R}.
f(x) = g(x) \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Για εισαγωγή στην ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 14, 2012 7:36 pm

Ας σημειωθεί πως ο συμβολισμός \displaystyle{-1} στον εκθέτη στην παρούσα άσκηση σημαίνει δύναμη κι όχι αντίστροφη συνάρτηση,
όπως μετά από αρκετή ώρα ανακάλυψα. Καλύτερα να είχε γραφτεί σαν κλάσμα παρά σαν δύναμη γιατί προκαλεί σύγχυση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: panagiotis iliopoulos και 4 επισκέπτες