ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Ιούλ 01, 2011 12:48 am

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...για την καλοκαιρινή προετοιμασία....

Θεωρούμε την συνάρτηση f:(0,\,\,+\infty )\to R που ικανοποιεί την σχέση f(x){{e}^{f(x)}}=x\ln x για κάθε x>1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο (1,\,+\infty )
β) Να δειχθεί ότι f(e)=1
γ) Να λυθεί η ανισότητα {{f}^{2}}(x)\le (1+f(2))f(x)-f(2)
δ) (..μεταμεσονύκτιο..) Να δειχθεί ότι ισχύει f(x)<x,\,\,\,x>1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Σάβ Ιούλ 02, 2011 12:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:06 am

α)Εύκολα παρατηρούμε πως για \displaystyle{ 
x > 1 \Rightarrow f(x) > 0 
}.
Τώρα υποθέτω πως η f δεν είναι γνησίως αύξουσα.
Αρα υπάρχουν \displaystyle{ 
1 < x_1  < x_2  \Rightarrow f(x_1 ) \ge f(x_2 ) > 0(1) \Rightarrow e^{f(x_1 )}  \ge e^{f(x_2 )}  > 0(2) 
}
Πολλάπλασιάζοντας τις \displaystyle{ 
(1),(2) 
} λαμβάνω \displaystyle{ 
f(x_1 )e^{f(x_1 )}  \ge f(x_2 )e^{f(x_2 )}  \Rightarrow x_1 \ln x_1  \ge x_2 \ln x_2  
} άτοπο γιατί:
\displaystyle{ 
1 < x_1  < x_2 (3) \Rightarrow 0 < \ln x_1  < \ln x_2 (4) 
}
Πολλαπλασιάζοντας τις \displaystyle{ 
(3),(4) 
} έχω \displaystyle{ 
x_1 \ln x_1  < x_2 \ln x_2  
}
Συνεπώς:
\displaystyle{ 
\forall x_1 ,x_2 ,x_1  < x_2  \Rightarrow f(x_1 ) < f(x_2 ) 
} άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα!


Χρήστος Κυριαζής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:08 am

Να κάνω την αρχή
Για x>1 έχουμε ότι lnx>0\Leftrightarrow xlnx>0 Αρα f(x)\cdot e^{f(x)}>0 και άρα f(x)>0
Έστω τώρα ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο (1,+\infty) τότε θα έχουμε ότι
Για κάθε x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})\cdot e^{^f(x_{1})}\geq f(x_{2})\cdot e^{^f(x_{2})}
\Rightarrow x_{1}\cdot ln(x_{1})\geq x_{2}\cdot ln(x_{2})\Rightarrow ln(x_{1})^{x_{1}}\geq ln(x_{2})^{x_{2}}
Άτοπο γιατί x_{1}<x_{2}

Με πρόλαβε ο Χρήστος αλλά την αφήνω

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:14 am

β) Για \displaystyle{ 
x = e 
} προκύπτει: \displaystyle{ 
f(e)e^{f(e)}  = e 
}
Αν \displaystyle{ 
f(e) > 1 \Rightarrow e^{f(e)}  > e 
} άρα \displaystyle{ 
f(e)e^{f(e)}  > e 
} άτοπο.
Αν \displaystyle{ 
f(e) < 1 \Rightarrow e^{f(e)}  < e 
} δηλαδή και \displaystyle{ 
f(e)e^{f(e)}  < e 
}.Τι μένει; Μα φυσικά \displaystyle{ 
f(e) = 1 
}


Χρήστος Κυριαζής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:32 am

δ) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g(x)=x\cdot e^x
τότε για κάθε x>1 η g είναι γνησίως αύξουσα και η αρχική σχέση γίνεται
f(x)\cdot e^{f(x)}= x\cdot lnx
\Leftrightarrow g(f(x))=g(lnx) και αφού η g είναι 1:1 τότε f(x) = lnx για κάθε x>1
και άρα f(x) < x για κάθε x>1

Χρήστος


εκ παραδρομής έγραψα ανάποδα την τελευταία ανισότητα
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Παρ Ιούλ 01, 2011 1:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:37 am

δ)Αν υποθέσουμε πως υπάρχει \displaystyle{ 
x_0  > 1 
} με \displaystyle{ 
f(x_0 ) \ge x_0 (5) \Rightarrow e^{f(x_0 )}  \ge e^{x_0 } (6) 
}
Αν πολλαπλασιάσω τις \displaystyle{ 
(5),(6) 
} θα πάρω \displaystyle{ 
f(x_0 )e^{f(x_0 )}  \ge x_0 e^{x_0 }  \Rightarrow x_0 \ln x_0  \ge x_0 e^{x_0 } \mathop  \Rightarrow \limits^{x_0  > 1} \ln x_0  \ge e^{x_0 }  
}
Αυτό είναι άτοπο όμως και μπορούμε να επικαλεστούμε και τη γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων αλλά και τις βασικές ανισότητες

\displaystyle{ 
e^x  \ge x + 1 > x - 1 \ge \ln x,x > 0 
}

Όσον αφορά το γ) έχω κάποιες επιφυλάξεις και περιμένω μήνυμα από τον Βασίλη.


Χρήστος Κυριαζής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιούλ 01, 2011 1:50 am

εδώ είναι
Συνημμένα
sxhma.png
sxhma.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Ιούλ 01, 2011 9:46 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...για την καλοκαιρινή προετοιμασία....

Θεωρούμε την συνάρτηση f:(0,\,\,+\infty )\to R που ικανοποιεί την σχέση f(x){{e}^{f(x)}}=x\ln x για κάθε x>1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο (1,\,+\infty )
β) Να δειχθεί ότι f(e)=1
γ) Να λυθεί η ανισότητα {{f}^{2}}(x)\le (1+f(2))f(x)-f(2)
δ) (..μεταμεσονύκτιο..) Να δειχθεί ότι ισχύει f(x)<x,\,\,\,x>1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
έκανα την διόρθωση στο πρόσημο μετα την επισήμανση του Χρήστου..
...συγγνώμη σε όσους ταλαιπώρησα με την αβλεψία μου...


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 01, 2011 11:02 pm

Για να τελειώσω με την άσκηση και μετά από τη διόρθωση του Βασίλη,έχω για το γ):
Η ανίσωση γράφεται:

\displaystyle{ 
f^2 (x) - (1 + f(2))f(x) + f(2) \le 0 
}
Είναι \displaystyle{ 
\Delta  = (1 + f(2))^2  - 4f(2) = (1 - f(2))^2  > 0 
} γιατί αποκλείεται \displaystyle{ 
f(2) = 1 
} (είναι \displaystyle{ 
f(e) = 1 
} και \displaystyle{ 
1 - 1 
} συνάρτηση αφού είναι γνησίως αύξουσα)
Τότε έχω:
\displaystyle{ 
\frac{{1 + f(2) - \left( {1 - f(2)} \right)}}{2} \le f(x) \le \frac{{1 + f(2) + 1 - f(2)}}{2} \Rightarrow f(2) \le f(x) \le 1 \Rightarrow f(2) \le f(x) \le f(e)\mathop  \Rightarrow \limits^{f \uparrow } 2 \le x \le e 
}(**)
Εξαιρετική σε όλα της η άσκηση κατά την γνώμη μου.Οι καλοί μαθητές θα την καταευχαριστηθούν.

(**)Εύκολα μπορώ να δείξω πως \displaystyle{ 
1 - f(2) > 0 
} ώστε να είναι υπερπλήρης η λύση.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης