Άλλο ένα όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Άλλο ένα όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Ιούλ 10, 2011 3:07 am

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο \displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}}. (Χωρίς L' Hospital)


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άλλο ένα όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 10, 2011 10:33 am

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο \displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}}. (Χωρίς L' Hospital)
Καλόόόό.

\displaystyle{\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}} = \frac{ \frac {x^a-a^a}{x-a} - \frac {a^x-a^a}{x-a} }{\frac {x^x-a^a}{x-a}}

Υπολογίζουμε τώρα τα όρια στο a των τριών κλασμάτων χωριστά. Και για τα τρία χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου στο a. Συγκεκριμένα,

Αν \displaystyle { f(x) = x^a τότε f^{\prime }(x) = ax^{a-1} και \displaystyle \lim _{x\to a}\frac {x^a-a^a}{x-a}= f^{\prime }(a) = aa^{a-1}= a^a.

Όμοια, αν \displaystyle { g(x) = a^x τότε g^{\prime }(x) = a^{x}\ln a και \displaystyle \lim _{x\to a}\frac {a^x-a^a}{x-a}= g^{\prime }(a) = a^{a}\ln a.

Τέλος, αν \displaystyle { h(x) = x^x τότε h^{\prime }(x) = x^{x}(1+\ln x) και \displaystyle \lim _{x\to a}\frac {x^x-a^a}{x-a}= h^{\prime }(a) = a^{a}(1+\ln a).

Όλα μαζί, \displaystyle{\lim _{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}} = \frac{ f^{\prime}(a) - g^{\prime}(a) }{h^{\prime}(a) }= \frac {a^a-a^a\ln a}{a^a(1+\ln a)} = \frac {1-\ln a}{1+\ln a}.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: όπως παρατήρησε ο Pla.pa.s σε Π.Μ., η μέθοδος λειτουργεί όταν ο παρονομαστής είναι \ne 0, δηλαδή a\ne 1/e. Σωστά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης