Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Τρί Ιούλ 12, 2011 3:20 am

chris έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε:Με βάση την ενθάρρυνση του κου Πρωτοπαπά, προσθέτω τα εξής ερωτήματα.
1)Να βρεθούν τα f(\mathbb R) και g(\mathbb R^{*}).
2)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των f,g.
και το τρίτο το καλύτερο
3)Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η g.
Επίσης να υπενθυμίσω το πρώτο ερώτημα "Να δειχθεί ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση f για την οποία ισχύει η κύρια σχέση του προβλήματος".
Αγαπητέ Pla.pa.s καλησπέρα :P
Να τονίσω οτι για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης υποχρεούμαστε να βρούμε πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλιώς δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Επομένως αφού παραπάνω ζητήθηκε η εύρεση της f^{-1} η εύρεση του f(\mathbb{R}) έχει προηγηθεί αναγκαστικά.
Δες και viewtopic.php?f=52&t=3566 για παράδειγμα τα ποστ του κ. Κυριακόπουλου για να καταλάβεις.

Φιλικά
Σωστά :wallbash: . Ευχαριστώ δεν το είχα δει - συγκεκριμένα είχα στο μυαλό μου μια άλλη λύση που βρίσκεται στη συζήτηση που με παραπέμπεις.

Έστω λοιπόν, ας απαντηθούν τα υπόλοιπα ερωτήματα.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιούλ 12, 2011 10:14 am

Pla.pa.s έγραψε: -Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε f^{3}(x)+f(x)=27x^{3} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb R}.
Ένας τρόπος να δείξουμε την ύπαρξη της f είναι ο ακόλουθος.

Έστω x\in \mathbb{R} (οποιοδήποτε αλλά σταθερό).

Η εξίσωση y^3+y=27x^3 έχει μοναδική πραγματική λύση ως προς y.

Συνεπώς ορίζουμε

f(x)=το μοναδικό πραγματικό y ώστε y^3+y=27x^3.

Εύκολα βλέπουμε ότι η f είναι καλώς ορισμένη.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 08, 2011 2:40 pm

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ » Τρί Ιούλ 12, 2011 10:37 am

Μία λύση για το σύνολο τιμών της f.
Έστω οτι η έχει άνω φράγμα f(x)\leq M (1) \Rightarrow f^3(x)\leq M^3 (2) Προσθέτοντας την 1 και 2f(x)+f^3(x)\leq M^3+M και λόγο της αρχικής σχεσης 27x^3\leq M^3+M\Rightarrow x^3<=(M^3+M)/27\Rightarrow x<=\sqrt[3]{M^3+M}/3 'Ατοπο δίοτι x E R, Ομοίως για το κατω φραγμα,άρα f(R)=R
Άλλη μια λυση για το σύνολο τιμών
y^3+y=27x^3 Θέτω g(y)=y^3+y-27x^3 Το χ εδώ εκλαμβανετε ως σταθερά,η g είναι προφανώς γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το R δίοτι\lim_{y->+00}=+00 και \lim_{y->-00}=-00 άρα αφού το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της g ,Υπάρχει μοναδικό yο,τέτοιο ώστε g(y0)=0\Rightarrow y0^3+y0=27x^3 άρα το R
Φιλικά,Χάρης


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιούλ 12, 2011 10:44 am

achilleas έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε: -Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε f^{3}(x)+f(x)=27x^{3} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb R}.
Ένας τρόπος να δείξουμε την ύπαρξη της f είναι ο ακόλουθος.

Έστω x\in \mathbb{R} (οποιοδήποτε αλλά σταθερό).

Η εξίσωση y^3+y=27x^3 έχει μοναδική πραγματική λύση ως προς y.

Συνεπώς ορίζουμε

f(x)=το μοναδικό πραγματικό y ώστε y^3+y=27x^3.

Εύκολα βλέπουμε ότι η f είναι καλώς ορισμένη.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Καλημέρα Αχιλλέα!Ούτε σκάψιμο,ούτε δύσκολα πράγματα.Τελικά ήταν πολύ-πολύ απλό.Η τριτοβάθμια έχει πάντα λύση στους πραγματικούς και η συγκεκριμένη μοναδική.Ευχαριστούμε!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:37 am

Για την ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης είχαμε παλαιότερα δει και αυτό viewtopic.php?f=55&t=1021


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Τρί Ιούλ 12, 2011 1:46 pm

Η λύση που είχα στο μυαλό μου είναι η ίδια με του χρήστη achilleas.
Γενικότερα με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιεσδήποτε γνησίως μονότονες και συνεχείς συναρτήσεις g,h για τις οποίες ισχύει g(\mathbb R)=h(\mathbb R)= \mathbb R, τότε υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε
g(f(x))=h(x) για κάθε x \in \mathbb R
(Ίσως, χωρίς να είμαι σίγουρος, το h(\mathbb R)=\mathbb R να είναι περιττό)


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιούλ 12, 2011 3:53 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Ανακεφαλαιώνοντας εκρεμμεί το (δ) και θέλει διόρθωση το (ιγ).
Pla.pa.s έγραψε: Δεν βλέπω που είναι το λάθος στο (ιγ). Μπορείτε μήπως να δώσετε κάποια επεξήγηση;
Ζητώ συγγνώμη. Τυπογραφικό λάθος. :oops: Το (ιδ) εννοούσα, το οποίο έχει ήδη διορθώσει ο Γιώργος.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιούλ 12, 2011 4:27 pm

Αν και τα νέα ερωτήματα ξεφεύγουν από την ύλη του φακέλου, ξεκινώ τις απαντήσεις.

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΗΣ f

Ισχύουν οι σχέσεις:
f^3(x)+f(x)=27x^3

f^3(x_0)+f(x_0)=27x_0^3

τις οποίες αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε ότι:

f^3(x)-f^3(x_0)+f(x)-f(x_0)=27x^3-27x_0^3 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (f(x)-f(x_0))(f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0))+f(x)-f(x_0)=27x^3-27x_0^3 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (f(x)-f(x_0))(f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1)=27(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) \Leftrightarrow

\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}

και για κάθε x \neq x_0 έχουμε:

\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}}.

Παίρνοντας το όριο στο x_0 και αφού η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}, έχουμε:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}}

άρα

\displaystyle{f'(x_0)=\frac{81x_0^2}{3f^2(x_0)+1}},

δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0 \in \mathbb{R} με παράγωγο που δίνεται παραπάνω.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
b.nikos
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 03, 2012 2:43 pm

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από b.nikos » Πέμ Ιαν 16, 2014 2:16 am

Eukleidis έγραψε:Για το α)
\displaystyle{f\left( x \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) = 27{x^3}}
Θέτοντας όπου x το 0 παίρνουμε:\displaystyle{f\left( 0 \right)\left( {{f^2}\left( 0 \right) + 1} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0} αφού \displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + 1 > 0}}

β)\displaystyle{g\left( x \right) = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \tfrac{{\tfrac{{27{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}}}{x} = \tfrac{{27{x^2}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} > 0,\forall x \ne 0}

ζ)Πεδίο ορισμού εχει το \displaystyle{\mathbb{R}}.Επίσης \displaystyle{{f^3}\left( { - x} \right) + f\left( { - x} \right) =  - 27{x^3} =  - {f^3}\left( x \right) - f\left( x \right) \Rightarrow {f^3}\left( { - x} \right) + {f^3}\left( x \right) =  - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)}\displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right)} \right) = - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right) \Rightarrow }}\displaystyle{\left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1} \right) = 0} που σημαίνει πως \displaystyle{{f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)}} αφού \displaystyle{{{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1 > 0}}.

Άρα η f είναι περιττή.

θ)\displaystyle{g\left( { - x} \right) = \tfrac{{f\left( { - x} \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{ - f\left( x \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = g\left( x \right)}. Συνεπώς η g είναι άρτια αφου το πεδίο ορισμού της \displaystyle{D = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)} είναι συμμετρικό ως προς το 0.

στ) Έστω \displaystyle{f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = {f^3}\left( y \right)}. Με πρόσθεση κατα μέλη παίρνουμε πως \displaystyle{27{x^3} = 27{y^3} \Rightarrow x = y}. Άρα η f είναι 1-1.

Η g όπως δείξαμε είναι άρτια, οπότε αποκλείεται να είναι 1-1. Πχ. \displaystyle{g\left( 5 \right) = g\left( { - 5} \right)}

ε) Έστω \displaystyle{x < y}. Τότε \displaystyle{x < y \Rightarrow {x^3} < {y^3} \Rightarrow 27{x^3} < 27{y^3} \Rightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) < {f^3}\left( y \right) + f\left( y \right)}\displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right)} \right] + f\left( x \right) - f\left( y \right) < 0}}\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right) + 1} \right] < 0 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)}

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.
Στο τελευταίο βήμα του (ε), πώς γνωρίζουμε ότι f^2(x) + f(x) f(y) + f^2(y) + 1 > 0 ;;
Το f(x) f(y) τι πρόσημο έχει;
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Πέμ Ιαν 16, 2014 8:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: $LaTeX$


styt_geia
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 23, 2010 12:16 am

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από styt_geia » Πέμ Ιαν 16, 2014 2:28 am

H παράσταση αυτή γράφεται:

\displaystyle \frac{1}{2}\left[ \left(f(x)+f(y)\right)^2+f^2(x)+f^2(y)\right]+1>0,\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}


Κώστας
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης