ισοδυναμία ορίων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

ισοδυναμία ορίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιούλ 10, 2011 8:22 pm

Να αποδείξετε την ισοδυναμία

\displaystyle{ 
(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } g(x) = 0) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } (f^2 (x) + g^2 (x)) = 0 
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ισοδυναμία ορίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Κυρ Ιούλ 10, 2011 8:34 pm

Η δεξιά συνεπαγωγή είναι προφανής.Για την αριστερη θέτουμε h(x)=f^2(x)+g^2(x)\geq 0 και ισοδύναμα έχουμε:

f^2(x)=h(x)-g^2(x)\geq 0

άρα h(x)\geq g^2(x)\Rightarrow\left|g(x) \right|\leq \sqrt{h(x)}\Rightarrow \boxed{-\sqrt{h(x)}\leq g(x)\leq \sqrt{h(x)}}:(1)

και αφού \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=0 απο κριτήριο παρεμβολής και την (1) έχουμε:\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0 και ομοίως για την f.


Στραγάλης Χρήστος
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ισοδυναμία ορίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιούλ 10, 2011 9:16 pm

...Καλησπέρα :logo: να προσθέσω και μία γεωμετρική απάντηση στην άσκηση του Σπύρου γιά την δεξιά ισοδυναμία...

Αν θέσουμε {{h}^{2}}(x)={{f}^{2}}(x)+{{g}^{2}}(x) (1) τότε είναι \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{h}^{2}}(x)=0 άρα και \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{h}^{2}}(x)}=0 οπότε και \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| h(x) \right|=0
από (1) ισχύει {{\left| h(x) \right|}^{2}}={{\left| f(x) \right|}^{2}}+{{\left| g(x) \right|}^{2}}και αν υποθέσουμε ότι οι \left| f(x) \right|,\,\,\left| g(x) \right| κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου η \left| h(x) \right| θα είναι η υποτείνουσα του επομένως θα ισχύει
\left| f(x) \right|\le \left| h(x) \right|,\,\left| g(x) \right|\le \left| h(x) \right|\,
άρα -\left| h(x) \right|\le f(x)\le \left| h(x) \right|,\,\,-\left| h(x) \right|\le g(x)\le \left| h(x) \right| και από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0,\,\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ισοδυναμία ορίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Ιούλ 11, 2011 1:25 pm

Απλή εφαρμογή
Αν f^2(x)+ g^2(x)+ 2f(x)-4g(x)+ 5 \leq \sqrt{\left|x \right|}, να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} }f(x) και
το\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} }g(x) .


Πως φέρνουμε ακριβώς κάτω από το όριο το x\rightarrow 0;


Χρήστος

Γιώργο και pla.pa.s
Σας ευχαριστώ
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Δευ Ιούλ 11, 2011 2:33 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ισοδυναμία ορίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Δευ Ιούλ 11, 2011 1:26 pm

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} }


Γιώργος
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: ισοδυναμία ορίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Δευ Ιούλ 11, 2011 1:55 pm

xr.tsif έγραψε:Απλή εφαρμογή
Αν f^2(x)+ g^2(x)+ 2f(x)-4g(x)+ 5 \leq \sqrt{\left|x \right|}, να υπολογίσετε το \lim_{x\rightarrow 0}f(x) και
το\lim_{x\rightarrow 0}g(x) .
Είναι \displaystyle{f^2(x)+ g^2(x)+ 2f(x)-4g(x)+ 5=(f(x)+1)^2+(g(x)-2)^2} κι άρα επειδή \displaystyle{\sqrt{|x|} \geq(f(x)+1)^2+(g(x)-2)^2\geq 0} από κριτήριο παρεμβολής έχουμε

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}(f(x)+1)^2+(g(x)-2)^2=0} κι άρα λόγω των παραπάνω \displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}f(x)=-1} και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}g(x)=2}
Πως φέρνουμε ακριβώς κάτω από το όριο το x\rightarrow 0
Εγώ απλώς γράφω \displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}f(x)} και το φτιάχνει μόνο του.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης