Συναρτησιακή 246

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή 246

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Ιούλ 11, 2011 10:51 pm

Καλησπέρα. Μία ενδιαφέρουσα συναρτησιακή απ' όπου μπορούμε να αντλήσουμε όμορφες ασκήσεις!

Δίνεται συνάρτηση g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R και οι πραγματικοί αριθμοί a,b,\lambda με \lambda \ne \pm 1. Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(a+x)+\lambda f(b-x)=g(x), \; x\in \mathbb R.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτησιακή 246

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιούλ 11, 2011 11:14 pm

Ας ξεσκουριάσουμε λίγο.Καιρός ήταν...
Θέτω \displaystyle{ 
x \to b - a - x 
} οπότε γίνεται:

\displaystyle{ 
\lambda f(a + x) + f(b - x) = g(b - a - x) 
}
οπότε με την αρχική δίνουν το σύστημα:

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \lambda f(a + x) + f(b - x) = g(b - a - x) \\  
 f(a + x) + \lambda f(b - x) = g(x) \\  
 \end{array} 
}
Λύνοντας το(βασικό το \displaystyle{ 
\lambda  \ne  \pm 1 
}) έχω:

\displaystyle{ 
f(a + x) = \frac{{g(x) - \lambda g(b - a - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} \vee f(b - x) = \frac{{g(b - a - x) - \lambda g(x)}}{{1 - \lambda ^2 }} 
}
Τώρα θέτω στην πρώτη \displaystyle{ 
x \to x - a 
} και στη δεύτερη \displaystyle{ 
x \to b - x 
} και έχω και από τις δύο :

\displaystyle{ 
f(x) = \frac{{g(x - a) - \lambda g(b - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} 
}
συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ

\displaystyle{ 
f(\alpha  + x) + \lambda f(b - x) = \frac{{g(x) - \lambda g(b - a - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} + \lambda \frac{{g(b - x - a) - \lambda g(x)}}{{1 - \lambda ^2 }} = \frac{{g(x)(1 - \lambda ^2 )}}{{1 - \lambda ^2 }} = g(x) 
}


Χρήστος Κυριαζής
ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 08, 2011 2:40 pm

Re: Συναρτησιακή 246

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ » Δευ Ιούλ 11, 2011 11:25 pm

Κύριε Χρήστο,θα μας πείτε ακριβώς την πορεία σκέψης σας σε αυτήν την άσκηση,με ποία λογική κάνατε αυτές τις αντικαταστάσεις?


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτησιακή 246

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιούλ 11, 2011 11:30 pm

H λογική Θεοχάρη είχε να κάνει με αυτό που βλέπεις.Να προσπαθήσω να δημιουργήσω μία σχέση με τα αρχικά ορίσματα της συνάρτησης, \displaystyle{ 
a + x,b - x 
}.
Τι πρέπει να θέσω λοιπόν για να έχω λοιπόν στη θέση του \displaystyle{ 
a + x -  > b - x 
};;Είναι σα να θέλω να λύσω την \displaystyle{ 
a + \kappa  = b - x 
} ως προς \displaystyle{ 
k 
}.
Τι θα προκύψει; \displaystyle{ 
b - a - x 
}!!
Παρόμοιο σκεπτικό και με το άλλο όρισμα.Και ώς δια μαγείας τα κατάφερα!!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης