Η σχέση f(x)g(x)=0

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Ardid
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 05, 2011 1:28 pm

Η σχέση f(x)g(x)=0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ardid » Τρί Ιούλ 12, 2011 1:37 pm

Γεια σας και πάλι. Έστω ότι έχουμε τη σχεση f(x)f(-x)=f^{2}(x) (1) για κάθε πραγματικό χ. Θέλω να αποδείξω ότι η f είναι άρτια
Αν θέσουμε όπου x το -x παίρνουμε f(x)f(-x)=f^{2}(-x) (2)

Από την (1), (2) \Rightarrow f(x) = f(-x) ή f(x)=-f(-x) για κάθε x (3). Πώς μπορούμε μετά να συνεχίσουμε;
Εγώ σκέφτηκα:
Αν f(x)=-f(-x), τότε από τη (2) έχουμε ότι f(x)=0 ***
Άρα (3)\Rightarrow f(x) = f(-x) για κάθε χ\inR-{x:f(x)=0} (4)

H σχέση 4 όμως αληθεύει και για εκείνα τα χ τέτοια ώστε f(x)=0

Άρα τελικά f(x) = f(-x) για κάθε x.

Η ερώτησή μου είναι αν η συγκεκριμένη διατύπωση είναι σωστή και σαφής. Ο καθηγητής μου μού είπε ότι καλύτερα να έγραφα κατευθείαν μετά το *** ότι άρα η f είναι άρτια, γιατί ο βαθμολογητής κατά πάσα πιθανότητα θα μπερδευόταν και θα αφαιρούσε μερικές μονάδες. Πώς θα απαντούσατε εσείς στη συγκεκριμένη άσκηση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Μήνυμα από Γενικούς Συντονστές: Έγινε διόρθωση του κώδικα LATEX. Παρακαλώ Ardid δες τις διορθώσεις που κάναμε.
Μηνύματα που δεν είναι σε LATEX ή που είναι "μισο-LATEX", θα απομακρύνονται, όπως το απαιτούν οι κανονισμοί μας.


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Η σχέση f(x)g(x)=0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τρί Ιούλ 12, 2011 1:54 pm

Μια αντιμετώπιση:

Για κάθε x \in R ισχύει ότι : f\left( x \right) f\left( { - x} \right) = {f^2}\left( x \right)
Θέτω όπου x το - x (αφού για κάθε x \in R ισχύει ότι - x \in R) και έχουμε ότι f\left( x \right)  f\left( { - x} \right) = {f^2}\left( { - x} \right)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες θα έχουμε ότι για κάθε x \in R ισχύει ότι 2f\left( x \right)  f\left( { - x} \right) = {f^2}\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) \Leftrightarrow {\left( {f(x) - f( - x)} \right)^2} = 0 από όπου προκύπτει ότι είναι f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) για κάθε x \in R. Άρα η f είναι άρτια συνάρτηση

Μίλτος


Ardid
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 05, 2011 1:28 pm

Re: Η σχέση f(x)g(x)=0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ardid » Τρί Ιούλ 12, 2011 1:56 pm

Πολύ καλύτερος και κατανοητός τρόπος! Έτσι όμως όπως απάντησα εγώ υπάρχει κάποια ασάφεια;


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Η σχέση f(x)g(x)=0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιούλ 12, 2011 4:49 pm

Ardid έγραψε:Γεια σας και πάλι. Έστω ότι έχουμε τη σχεση f(x)f(-x)=f^{2}(x) (1) για κάθε πραγματικό χ. Θέλω να αποδείξω ότι η f είναι άρτια
Αν θέσουμε όπου x το -x παίρνουμε f(x)f(-x)=f^{2}(-x) (2)

Από την (1), (2) \Rightarrow f(x) = f(-x) ή f(x)=-f(-x) για κάθε x (3). ...
Το λάθος στον συλλογισμό σου είναι πως η σχέση (3) δεν μπορεί να προκύψει όπως το βγάζεις από τις σχέσεις (1), (2) διότι
δεν ισχύει γενικά για συναρτήσεις \displaystyle{f^{2}(x)=g^{2}(x) , x\in A \Rightarrow f(x)=g(x) ,x\in A} ή \displaystyle{f(x)= -g(x) ,x\in A} (αυστηρά μόνο ένα από τα δύο) .

Με αντιπαράδειγμα
\displaystyle{f\left(x \right)=\begin{cases} 
1 & \text{ if } x< 0  \\  
-1 & \text{ if } x> 0   
\end{cases}} και \displaystyle{g\left(x \right)=1 , x \in R^{*}}

Ισχύει \displaystyle{f^{2}(x)=g^{2}(x) , x \in R^{*}} αλλά δεν ισχύει (αυστηρά μόνο ένα από τα δύο) \displaystyle{f(x) = g(x)} ή \displaystyle{f(x)=-g(x)} για κάθε \displaystyle{x \in R^{*}}.

edit: Προσθήκη του \pm και διόρθωση τυπογραφικών εκ παραδρομής και τα κόκκινα γράμματα


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η σχέση f(x)g(x)=0

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιούλ 12, 2011 5:27 pm

Ένας ακόμη τρόπος.

Έστω ότι η f δεν είναι άρτια, οπότε υπάρχει x_0 έτσι ώστε f(x_0) \neq f(-x_0) (I).

Επίσης αφού f^2(x)=f(x)f(-x) (II)

και θέτοντας όπου x το -x, βρίσκουμε ότι: f^2(-x)=f(x)f(-x),

οπότε f^2(x)=f^2(-x),

Συνεπώς: f^2(x_0)=f^2(-x_0) \Leftrightarrow f(-x_0)= \pm f(x_0),

άρα f(-x_0)=-f(x_0) (III) λόγω της (Ι).

Αντικαθιστώτας στην (ΙΙ) όπου x το x_0, βρίσκουμε:

f^2(x_0)=f(x_0)f(-x_0),

οπότε λόγω της (ΙΙΙ) βρίσκουμε:

f^2(x_0)=-f^2(x_0) \Leftrightarrow f(x_0)=0, άρα f(x_0)=f(-x_0)=0,
που είναι άτοπο λόγω της (Ι), οπότε η f είναι άρτια.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης