Οριο χωρις DLH

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Οριο χωρις DLH

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Τρί Ιούλ 12, 2011 6:30 pm

Να υπολογιστεί το όριο:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \eta \mu x}}{{x^2 }}


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οριο χωρις DLH

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 12, 2011 7:08 pm

G.Tsikaloudakis έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \eta \mu x}}{{x^2 }}
Εργαζόμαστε για x>0. Το άλλο πλευρικό όριο είναι τότε άμεσο, γιατί ο αριθμητής είναι περιττή συνάρτηση.

Είναι τώρα 0 \le x- \sin x \le \frac{x^3}{6} (γνωστό, αλλά βγαίνει από την \sin x \le x με ολοκληρωση δύο φορές. Αφήνω τις λεπτομέρειες). Έτσι 0 \le \frac {x-\sin x}{x^2}\le \frac {x}{6} άρα, από παρεμβολή, το ζητούμενο όριο είναι 0.

Φιλικά,

Μιχάλης


solars
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Ιουν 20, 2011 9:14 pm
Τοποθεσία: Thessaloniki

Re: Οριο χωρις DLH

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solars » Τρί Ιούλ 12, 2011 7:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
G.Tsikaloudakis έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \eta \mu x}}{{x^2 }}
Εργαζόμαστε για x>0. Το άλλο πλευρικό όριο είναι τότε άμεσο, γιατί ο αριθμητής είναι περιττή συνάρτηση.

Είναι τώρα 0 \le x- \sin x \le \frac{x^3}{6} (γνωστό, αλλά βγαίνει από την \sin x \le x με ολοκληρωση δύο φορές. Αφήνω τις λεπτομέρειες). Έτσι 0 \le \frac {x-\sin x}{x^2}\le \frac {x}{6} άρα, από παρεμβολή, το ζητούμενο όριο είναι 0.

Φιλικά,

Μιχάλης
Ναι αλλα αν το οριο πρεπει να διδαχθει πριν την ολοκληρωση ως ειθιστε;


''If i have not seen as far as others it is because giants were standing in front of me.''
G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: Οριο χωρις DLH

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Τρί Ιούλ 12, 2011 7:32 pm

Υπόδειξη:

''Κοντά στο 0'' ισχύει

0 < \sigma \upsilon \nu x < \frac{{\eta \mu x}}{x} < 1

Βλέπε Σχολικό σελ. 172


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οριο χωρις DLH

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 12, 2011 7:42 pm

G.Tsikaloudakis έγραψε:Υπόδειξη:

''Κοντά στο 0'' ισχύει

0 < \sigma \upsilon \nu x < \frac{{\eta \mu x}}{x} < 1

Βλέπε Σχολικό σελ. 172

Σωστά. Νέα προσπάθεια:

Για x>0, όπως στην προηγούμενη λύση, η ανισότητα που παραπέμπει ο Γιώργος γράφεται

0\le \frac{x-\sin x}{x^2}\le -\frac {\cos x-1}{x-0}.

Το δεξί μέλος, του x τείνοντος στο 0^+, είναι εξ ορισμού "μείον η παράγωγος του \cos x στο μηδέν", δηλαδή \sin0 = 0.

Από ισοσυγκλίνουσες, το ζητούμενο όριο είναι 0.

Φιλικά,

Μιχάλης


G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: Οριο χωρις DLH

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Τρί Ιούλ 12, 2011 8:37 pm

(υπενθυμίζω ότι) Το όριο:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu x}}{x} = 0

Δίνεται ως γνωστό (στο κεφάλαιο των ορίων).
Φιλικά Γιώργος


Γιώργος Τσικαλουδάκης
solars
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Ιουν 20, 2011 9:14 pm
Τοποθεσία: Thessaloniki

Re: Οριο χωρις DLH

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solars » Τρί Ιούλ 12, 2011 8:44 pm

G.Tsikaloudakis έγραψε:(υπενθυμίζω ότι) Το όριο:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu x}}{x} = 0

Δίνεται ως γνωστό (στο κεφάλαιο των ορίων).
Φιλικά Γιώργος
Μια απόδειξη :

\displaystyle{\begin{array}{l} 
\lim \frac{{1 - \cos x}}{x} = \lim \frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{x\left( {1 + \cos x} \right)}} = \lim \frac{{{{\sin }^2}x}}{{x\left( {1 + \cos x} \right)}}\\ 
 = \lim \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} = 0 
\end{array}}


''If i have not seen as far as others it is because giants were standing in front of me.''
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες