μονοτονία -ανίσωση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

μονοτονία -ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τρί Ιούλ 12, 2011 10:26 pm

α) Αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \displaystyle{(0, + \infty )} και \displaystyle{ 
f(x) > 0} για κάθε \displaystyle{x > 0}, να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g} με \displaystyle{g(x) = \frac{1}{{f(x)}} + f(\frac{1}{x})} είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \displaystyle{(0, + \infty )}

β) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία (χωρίς χρήση της παραγώγου) της συνάρτησης: \displaystyle{h(x) = \frac{1}{{e^x }} + e^{\frac{1}{x}}  - \ln x}

γ) Να λύθει η ανίσωση: \displaystyle{ 
e^{-2x}  + e^{\frac{1}{{2x}}}  - \frac{1}{e} > \ln 2x + e 
}
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Τετ Ιούλ 13, 2011 11:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: μονοτονία -ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:02 pm

α) Έστω \displaystyle{0 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{f\left( {{x_1}} \right)}} > \frac{1}{{f\left( {{x_2}} \right)}}} (1) (γιατί f γν. αύξουσα και f > 0)

\displaystyle{0 < {x_1} < {x_2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{x_1},{x_2} > 0} \frac{1}{{{x_1}}} > \frac{1}{{{x_2}}} \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{{{x_1}}}} \right) > f\left( {\frac{1}{{{x_2}}}} \right)} (2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι g\left( {{x_1}} \right) > g\left( {{x_2}} \right) δηλαδή η g είναι γν. φθίνουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

β) Με x > 0 και \displaystyle{0 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \ln {x_1} < \ln {x_2} \Leftrightarrow  - \ln {x_1} >  - \ln {x_2}} (3) οπότε η συνάρτηση t\left( x \right) =  - \ln x είναι γν. φθίνουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Η συνάρτηση f\left( x \right) = {e^x} είναι γν. αύξουσα, έτσι σύμφωνα με το (α) ερώτημα η g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}} + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{{e^x}}} + {e^{\frac{1}{x}}} είναι γν. φθίνουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Επειδή h\left( x \right) = g\left( x \right) + t\left( x \right) και είναι άθροισμα γν. φθίνουσων συναρτήσεων θα είναι και η h\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x}}} + {e^{\frac{1}{x}}} - lnx είναι γν. φθίνουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

γ) {e^{2x}} + {e^{\frac{1}{{2x}}}} - \frac{1}{e} > \ln 2x + e\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0}

{e^{2x}} + {e^{\frac{1}{{2x}}}} - \ln 2x > \frac{1}{e} + e\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0}

h\left( {2x} \right) > h\left( 1 \right) \Leftrightarrow

2x < 1 \Leftrightarrow

x < \frac{1}{2}

Άρα 0 < x < \frac{1}{2}

Edit: Έγινε διόρθωση της φοράς της τελευταίας ανίσωσης.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Τρί Ιούλ 12, 2011 11:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: μονοτονία -ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:13 pm

α) Έστω \displaystyle{ 
x_1 ,x_2  \in \left( {0, + \infty } \right),\boxed{x_1  < x_2 } \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x_1  < x_2 \mathop  \Rightarrow \limits^{f \uparrow } 0 < f\left( {x_1 } \right) < f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow \frac{1} 
{{f\left( {x_1 } \right)}} > \frac{1} 
{{f\left( {x_2 } \right)}} \\  
  0 < x_1  < x_2  \Rightarrow \frac{1} 
{{x_1 }} > \frac{1} 
{{x_2 }}\mathop  \Rightarrow \limits^{f \uparrow } f\left( {\frac{1} 
{{x_1 }}} \right) > f\left( {\frac{1} 
{{x_2 }}} \right) \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)}  
} \displaystyle{ 
\frac{1} 
{{f\left( {x_1 } \right)}} + f\left( {\frac{1} 
{{x_1 }}} \right) > \frac{1} 
{{f\left( {x_2 } \right)}} + f\left( {\frac{1} 
{{x_2 }}} \right) \Rightarrow \boxed{g\left( {x_1 } \right) > g\left( {x_2 } \right)} 
}

Άρα η \displaystyle{ 
g\left( x \right) = f\left( x \right) + f\left( {\frac{1} 
{x}} \right) 
} είναι γνησίως φθίνουσα.

β) με \displaystyle{ 
f\left( x \right) = e^x  
} και \displaystyle{ 
x \in \left( {0, + \infty } \right) 
} προφανώς η \displaystyle{ 
f\left( x \right) = e^x  
} ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της \displaystyle{ 
f 
} του α) ερωτήματος και συνεπώς η συνάρτηση

\displaystyle{ 
g\left( x \right) = \frac{1} 
{{e^x }} + e^{\frac{1} 
{x}}  = \frac{1} 
{{f\left( x \right)}} + f\left( {\frac{1} 
{x}} \right) 
} είναι γνησίως φθίνουσα. Έχουμε:

\displaystyle{ 
x_1 ,x_2  \in \left( {0, + \infty } \right),\boxed{x_1  < x_2 } \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x_1  < x_2 \mathop  \Rightarrow \limits^{g \downarrow } 0 < g\left( {x_1 } \right) > g\left( {x_2 } \right) \\  
  0 < x_1  < x_2 \mathop  \Rightarrow \limits^{\ln  \uparrow } \ln x_1  < \ln x_2 \mathop  \Rightarrow \limits^{ \cdot \left( { - 1} \right)}  - \ln x_1  >  - \ln x_2  \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)}  
}\displaystyle{ 
g\left( {x_1 } \right) - \ln x_1  > g\left( {x_2 } \right) - \ln x_2  \Rightarrow \boxed{h\left( {x_1 } \right) > h\left( {x_2 } \right)} 
}

Άρα η συνάρτηση \displaystyle{ 
\boxed{h\left( x \right) = \frac{1} 
{{e^x }} + e^{\frac{1} 
{x}}  - \ln x} 
} είναι γνησίως φθίνουσα

Γ) Υποθέτοντας ότι ο Σπύρος θέλει την ανίσωση: \displaystyle{ 
e^{ - 2x}  + e^{\frac{1} 
{{2x}}}  - \frac{1} 
{e} > \ln 2x + e \Leftrightarrow \frac{1} 
{{e^{2x} }} + e^{\frac{1} 
{{2x}}}  - \ln 2x > \frac{1} 
{e} + e - 0 \Leftrightarrow h\left( {2x} \right) > h\left( 1 \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{h \downarrow } 0 < 2x < 1 \Leftrightarrow \boxed{0 < x < \frac{1} 
{2}} 
}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες