Σελίδα 1 από 1

Μήκος χορδής.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 16, 2009 5:45 pm
από chris_gatos
Αλλη μια άσκηση με περιοδική συνάρτηση....

Έστω f: R -> R μια συνεχής και περιοδική συνάρτηση.Να αποδείξετε πως η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντιες χορδές, οποιουδήποτε μήκους.

Re: Μήκος χορδής.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 16, 2009 5:55 pm
από papel
Να προσθεσω στο παραπανω ερωτημα (Χρηστου επιτρεποντος) αν ειναι δυνατο να προσδιορισθει το μηκος
της μεγιστης και ελαχιστης χορδης καθως και το μηκος της καμπυλης της γραφικης παραστασης της f σε καθε
περιπτωση.

Re: Μήκος χορδής.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 16, 2009 5:59 pm
από chris_gatos
Ελεύθερα, κάνένα πρόβλημα...Μπορείτε να βάζετε όσα ερωτήματα θέλετε , σε όσες ασκήσεις προτείνω. Αντιθέτως διπλή η χαρά μου για το ενδιαφέρον που δείχνετε...

Re: Μήκος χορδής.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 16, 2009 6:28 pm
από Mihalis_Lambrou
chris_gatos έγραψε:Αλλη μια άσκηση με περιοδική συνάρτηση....

Έστω f: R -> R μια συνεχής και περιοδική συνάρτηση.Να αποδείξετε πως η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντιες χορδές, οποιουδήποτε μήκους.
Υπόδειξη: Δοθέντος L (= το ζητούμενο μήκος) εξετάζουμε την g(x) = f(x+L) - f(x).
Aν η f λαμβάνει την μικρότερη τιμή της στο m, όπου m στο [0, T] (εδώ T = η περίοδος) έχουμε g(m) \ge 0. Όμοια υπάρχει Μ στο [0, T] με g(M) \le 0.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

ΥΓ

Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα ασυνεχούς περιοδικής f που το παραπάνω αποτυγχάνει, είναι η συνάρτηση Dirichlet. Εδώ δεν υπάρχει χορδή μήκους 1 καθώς οι x και x+1 είναι συγχρόνως ρητοί, αντίστοιχα άρρητοι. Άρα f(x+1) - f(x) ισούται με 1-1 ή 0-0, πάντως όχι με 1.