Πλευρικό όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Πλευρικό όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Σάβ Ιούλ 16, 2011 10:16 pm

Αν f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 \frac{{x^{^2 }  - 1}}{{x^3  - 1}}{\rm{ }}{\rm{,      x}} < 1 \\  
 {\rm{                    }} \\  
 \frac{1}{x}{\rm{ }}{\rm{,              x}} > {\rm{1}} \\  
 \end{array} \right. , να υπολογιστεί το :

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ +  } f\left( {f(x)} \right)


Γιώργος Τσικαλουδάκης
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Πλευρικό όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Κυρ Ιούλ 17, 2011 8:56 am

Για x>1 είναι 0 < f(x) = \frac{1}{x} < 1 ,

με \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ +  } f(x) = 1 , οπότε αν θέσουμε:

u=f(x) , έχουμε

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ +  } f\left( {f(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1^ -  } f(u) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1^ -  } \frac{{u + 1}}{{u^2  + u + 1}} = \frac{2}{3}


Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Πλευρικό όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Κυρ Ιούλ 17, 2011 12:05 pm

Για λόγους πληρότητας, ας υπολογιστεί και το άλλο όριο.
Για \displaystyle{x<1} είναι \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}=\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x+1}{x^{2}+x+1}=\frac{2}{3}}
Επίσης για \displaystyle{0<x<1 είναι \displaystyle{1>\frac{x+1}{x^{2}+x+1}>\frac{2}{3} } άρα για u=f(x) έχουμε \displaystyle{\lim_{x\rightarrow1^{-}} f(f(x))=\lim_{u\rightarrow \frac{2}{3}^{+}}f(u)=\frac{15}{19}}.
Συνεπώς τόσο η f όσο και η fof είναι ασυνεχείς στο 1.

Ένα εύκολο ερώτημα πλέον είναι το εξής:
Να δειχθεί ότι η fofofo...of είναι ασυνεχής στο 1.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης